Question

已知的展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值依次成等差數(shù)列．
（1）展開式中是否有常數(shù)項(xiàng)？若有請(qǐng)求出常數(shù)項(xiàng)，若沒(méi)有請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）求展開式中所有的有理項(xiàng)．

Answer 1

解：依題意，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值是1，C¹_n（），C²_n（）²，
且2C¹_n•=1+C²_n（）²，
即n²-9n+8=0，∴n=8（n=1舍去），
∴展開式的第k+1項(xiàng)為C^k₈（）^8-k（-）^k
=（-）^kC^k₈•=（-1）^k•C^k₈•．
（1）證明：若第k+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，
當(dāng)且僅當(dāng)=0，即3k=16，
∵k∈Z，∴這不可能，
∴展開式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)．
（2）若第k+1項(xiàng)為有理項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)為整數(shù)，
∵0≤k≤8，k∈Z，∴k=0，4，8，
即展開式中的有理項(xiàng)共有三項(xiàng)，它們是：
T₁=x⁴，T₅=x，T₉=x^-2．
分析：（1）利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出前三項(xiàng)的系數(shù)，列出方程求出n，再利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)，令x的指數(shù)為0得到常數(shù)項(xiàng)，即可說(shuō)明展開式中有沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)．
（2）令展開式中的x的指數(shù)為有理數(shù)，求出k值，再求出相應(yīng)的有理項(xiàng)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問(wèn)題．是中檔題．