Question

巳知函數(shù)，，其中.
(1)若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求的值；
(2)若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍；
(3)記，求證：.

Answer 1

（1）；（2）；（3）參考解析

試題分析：（1）由函數(shù)，所以可得，又是函數(shù)的極值點(diǎn)，即.
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042624953464.png" style="vertical-align:middle;" />在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后把變量分離，求函數(shù)的最值即可.
（3）由即可得到，，按的降冪寫成二次三項(xiàng)的形式，然后再配方，即可得到.再用放縮法即可得到結(jié)論.
試題解析：(1)由，
得，
∵是函數(shù)的極值點(diǎn)，
∴，解得，經(jīng)檢驗(yàn)為函數(shù)的極值點(diǎn)，所以．
(2)∵在區(qū)間上單調(diào)遞增，
∴在區(qū)間上恒成立，
∴對(duì)區(qū)間恒成立，
令，則
當(dāng)時(shí)，，有，
∴的取值范圍為．
(3) 解法1：
，令，
則
令，則，
顯然在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則，則，
故．
解法2： 
則表示上一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)距離的平方．
由得，讓，解得，
∴直線與的圖象相切于點(diǎn)，
（另解：令，則，
可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，則，
直線與的圖象相切于點(diǎn)），
點(diǎn)（1，0）到直線的距離為，
則．