已知函數(shù)f(x)＝lg［(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1］

(1)若f(x)的定義域為(－∞，＋∞)，求實數(shù)a的取值范圍．

(2)若f(x)的值域為(－∞，＋∞)，求實數(shù)a的取值范圍．

答案：
解析：

(1)∵f(x)的定義域為(－∞，＋∞)

∴(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1＞0，對一切x∈R恒成立

當(dāng)a2－1≠0時，

∴a＜－1或a＞

當(dāng)a2－1＝0時，若a＝－1，則f(x)＝0，定義域也是(－∞，＋∞)

若a＝1，則f(x)＝lg(2x＋1)，定義域不是(－∞，＋∞)

故所求a的取值范圍是(－∞，－1]∪(，＋∞)．

(2)∵f(x)值域為(－∞，＋∞)

∴只要t＝(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1能取到(0，＋∞)內(nèi)的任何一個值．

∴

∴1＜a≤

又當(dāng)a2－1＝0時，若a＝1，則f(x)＝lg(2x＋1)其值域也是(－∞，＋∞)，若a＝－1，則f(x)＝0不合題意

∴所求a的取值范圍是［1，］


提示：

本題考查了換元轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想，理解對數(shù)函數(shù)概念，特別是把握定義域、值域的含義是解題的關(guān)鍵．特別是(2)中，f(x)值域是R的含義是真數(shù)部分即t＝(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1在x取值時需取滿(0，＋∞)的每一個值，否則f(x)的值域就不是R，這就要求t關(guān)于x的二次函數(shù)不能有比零大的最小值．因此Δ≥0，這時要注意f(x)的定義域就不是R集合了，而是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，其中x1，x2分別為相應(yīng)二次方程的小根、大根．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)＝ax2－2x＋1，g(x)＝ln(x＋1)．

(1)求函數(shù)y＝g(x)－x在[0,1]上的最小值；

(2)當(dāng)a≥時，函數(shù)t(x)＝f(x)＋g(x)的圖像記為曲線C，曲線C在點(diǎn)(0,1)處的切線為l，是否存在a使l與曲線C有且僅有一個公共點(diǎn)？若存在，求出所有a的值；否則，說明理由．

(3)當(dāng)x≥0時，g(x)≥－f(x)＋恒成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆湖北省大治二中高二3月聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝x3＋x－16，

(1)求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，－6)處的切線的方程；

(2)直線l為曲線y＝f(x)的切線，且經(jīng)過原點(diǎn)，求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)；

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年陜西省高二下期第一次月考理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一點(diǎn)P(1，－2)，過點(diǎn)P作直線l.

(1)求使直線l和y＝f(x)相切且以P為切點(diǎn)的直線方程；

(2)求使直線l和y＝f(x)相切且切點(diǎn)異于P的直線方程．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)專項訓(xùn)練（河北） 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲線y＝f(x)在x＝1處的切線為l：3x－y＋1＝0，當(dāng)x＝時，y＝f(x)有極值．

(1)求a、b、c的值；

(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)專項訓(xùn)練（河北） 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝x3－2x2＋ax(x∈R，a∈R)，在曲線y＝f(x)的所有切線中，有且僅有一條切線l與直線y＝x垂直．

(1)求a的值和切線l的方程；

(2)設(shè)曲線y＝f(x)上任一點(diǎn)處的切線的傾斜角為θ，求θ的取值范圍

 

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