Question

【題目】已知a＞0且a≠1，函數(shù)f（x）=loga（x+1）， ，記F（x）=2f（x）+g（x）
（1）求函數(shù)F（x）的定義域D及其零點；
（2）試討論函數(shù)F（x）在定義域D上的單調(diào)性；
（3）若關于x的方程F（x）﹣2m2+3m+5=0在區(qū)間[0，1）內(nèi)僅有一解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：F（x）=2f（x）+g（x）= （a＞0且a≠1）

要使函數(shù)有意義，則 ，解得﹣1＜x＜1，

∴函數(shù)F（x）的定義域為（﹣1，1）．

令F（x）=0，則 …（*）

方程變?yōu)? ，（x+1）2=1﹣x，即x2+3x=0

解得x1=0，x2=﹣3．

經(jīng)檢驗x=﹣3是（*）的增根，∴方程（*）的解為x=0，

∴函數(shù)F（x）的零點為0

（2）解：由于函數(shù) 在定義域D上是增函數(shù)．可得：

①當a＞1時，由復合函數(shù)的單調(diào)性知：函數(shù)f（x）=loga（x+1），

在定義域D上是增函數(shù)．

∴函數(shù)F（x）=2f（x）+g（x）在定義域D上是增函數(shù)．

②當0＜a＜1時，由復合函數(shù)的單調(diào)性知：

函數(shù)f（x）=loga（x+1）， ，在定義域D上是減函數(shù)．

∴函數(shù)F（x）=2f（x）+g（x）在定義域D上是減函數(shù)

（3）解：問題等價于關于x的方程2m2﹣3m﹣5=F（x）在區(qū)間[0，1）內(nèi)僅有一解，

①當a＞1時，由（2）知，函數(shù)F（x）在[0，1）上是增函數(shù)，

∴F（x）∈[0，+∞），

∴只需2m2﹣3m﹣5≥0，

解得：m≤﹣1，或 ．

②當0＜a＜1時，由（2）知，函數(shù)F（x）在[0，1）上是減函數(shù)，

∴F（x）∈（﹣∞，0]，

∴只需2m2﹣3m﹣5≤0，

解得： ．

綜上所述，當0＜a＜1時： ；

當a＞1時，m≤﹣1，或

【解析】（1）利用對數(shù)函數(shù)的定義域即可的得出，利用對數(shù)的運算法則即可得出函數(shù)的零點；（2）通過對a分類討論，利用一次函數(shù)、反比例函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出復合函數(shù)F（x）的單調(diào)性；（3）利用（2）的函數(shù)F（x）的單調(diào)性可得其值域，進而轉(zhuǎn)化為即一元二次不等式的解集．
【考點精析】掌握函數(shù)的定義域及其求法和函數(shù)單調(diào)性的判斷方法是解答本題的根本，需要知道求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實數(shù);②是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實數(shù);③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數(shù)的集合;④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等于1,零（負）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零；單調(diào)性的判定法：①設x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較．