Question

【題目】如圖,四棱錐,側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正三角形,且與底面垂直,底面是的菱形, 為棱上的動(dòng)點(diǎn),且.

(I)求證： 為直角三角形；

(II)試確定的值，使得二面角的平面角余弦值為.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；(II) .

【解析】試題分析：（1）取中點(diǎn),連結(jié),以為原點(diǎn)， 為軸， 為軸， 為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明為直角三角形；（2）設(shè)，由，得，求出平面的法向量和平面的法向量，，根據(jù)空間向量夾角余弦公式能求出結(jié)果.

試題解析：(I)取中點(diǎn),連結(jié)，依題意可知均為正三角形，所以,

又平面平面，

所以平面，

又平面，所以,

因?yàn)?/span>,所以，即,

從而為直角三角形.

說(shuō)明:利用 平面證明正確,同樣滿分!

(II)[向量法]由(I)可知,又平面平面,平面平面,

平面，所以平面.

以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,則

,

由可得點(diǎn)的坐標(biāo)

所以,

設(shè)平面的法向量為，則,

即解得，

令，得，

顯然平面的一個(gè)法向量為,

依題意，

解得或（舍去），

所以，當(dāng)時(shí)，二面角的余弦值為.

[傳統(tǒng)法]由(I)可知平面,所以,

所以為二面角的平面角，

即,

在中， ,

所以

，

由正弦定理可得，即

解得，

又,所以,

所以，當(dāng)時(shí)，二面角的余弦值為.