【題目】已知函數(shù)，證明：

（1）在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；

（2）有且僅有2個(gè)零點(diǎn).

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析

【解析】

（1）設(shè),對(duì)求導(dǎo)可知在上單調(diào)遞減,利用零點(diǎn)存在性定理可得在上有唯一的零點(diǎn),進(jìn)而求證即可；

（2）利用導(dǎo)函數(shù)分別討論,,的單調(diào)性,判斷函數(shù)圖象的性質(zhì),進(jìn)而求證即可.

證明:(1)設(shè),

當(dāng)時(shí),,

所以在上單調(diào)遞減,

又因?yàn)?/span>,,

所以在上有唯一的零點(diǎn),

即函數(shù)在上存在唯一零點(diǎn),

當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減,

所以在上存在唯一的極大值點(diǎn)

(2)①由(1)知:在上存在唯一的極大值點(diǎn),

所以,

又因?yàn)?/span>,

所以在上恰有一個(gè)零點(diǎn),

又因?yàn)?/span>,

所以在上也恰有一個(gè)零點(diǎn),

②當(dāng)時(shí),,,

設(shè),,

所以在上單調(diào)遞減,所以,

所以當(dāng)時(shí),恒成立,

所以在上沒有零點(diǎn),

③當(dāng)時(shí),,

設(shè),,

所以在上單調(diào)遞減,

所以,

所以當(dāng)時(shí),恒成立,

所以在上沒有零點(diǎn),

綜上,有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，的周長(zhǎng)為8.

（1）求的離心率及方程；

（2）試問(wèn)：是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.

（1）若數(shù)列是等差數(shù)列，且，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若數(shù)列滿足，且，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

（3）設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，試探究當(dāng)正實(shí)數(shù)滿足什么條件時(shí)，數(shù)列具有如下性質(zhì)：對(duì)于任意的，都存在使得，寫出你的探求過(guò)程，并求出滿足條件的正實(shí)數(shù)的集合.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2016年5月20日以來(lái)，廣東自西北到東南出現(xiàn)了一次明顯降雨.為了對(duì)某地的降雨情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，氣象部門對(duì)當(dāng)?shù)?/span>20日~28日9天記錄了其中100小時(shí)的降雨情況，得到每小時(shí)降雨情況的頻率分布直方圖如下：

若根據(jù)往年防汛經(jīng)驗(yàn)，每小時(shí)降雨量在時(shí)，要保持二級(jí)警戒，每小時(shí)降雨量在時(shí)，要保持一級(jí)警戒.

（1）若從記錄的這100小時(shí)中按照警戒級(jí)別采用分層抽樣的方法抽取10小時(shí)進(jìn)行深度分析.

①求一級(jí)警戒和二級(jí)警戒各抽取多少小時(shí)；

②若從這10個(gè)小時(shí)中任選2個(gè)小時(shí)，則這2個(gè)小時(shí)中恰好有1小時(shí)屬于一級(jí)警戒的概率.（2）若以每組的中點(diǎn)代表該組數(shù)據(jù)值，求這100小時(shí)內(nèi)的平均降雨量.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖1為某省2018年1~4月快遞業(yè)務(wù)量統(tǒng)計(jì)圖，圖2是該省2018年1~4月快遞業(yè)務(wù)收入統(tǒng)計(jì)圖，下列對(duì)統(tǒng)計(jì)圖理解錯(cuò)誤的是（ ）

A. 2018年1~4月的業(yè)務(wù)量，3月最高，2月最低，差值接近2000萬(wàn)件

B. 2018年1~4月的業(yè)務(wù)量同比增長(zhǎng)率均超過(guò)50%，在3月底最高

C. 從兩圖來(lái)看，2018年1~4月中的同一個(gè)月的快遞業(yè)務(wù)量與收入的同比增長(zhǎng)率并不完全一致

D. 從1~4月來(lái)看，該省在2018年快遞業(yè)務(wù)收入同比增長(zhǎng)率逐月增長(zhǎng)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的左焦點(diǎn)為，橢圓上動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離和最近距離分別為和.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，若，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】

如圖，在直三棱柱中，平面側(cè)面A1ABB1．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）若直線AC與平面A1BC所成的角為θ，二面角A1-BC-A的大小為φ，試判斷θ與φ的大小關(guān)系，并予以證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2018年全國(guó)數(shù)學(xué)奧賽試行改革：在高二一年中舉行5次全區(qū)競(jìng)賽，學(xué)生如果其中2次成績(jī)達(dá)全區(qū)前20名即可進(jìn)入省隊(duì)培訓(xùn)，不用參加其余的競(jìng)賽，而每個(gè)學(xué)生最多也只能參加5次競(jìng)賽.規(guī)定：若前4次競(jìng)賽成績(jī)都沒有達(dá)全區(qū)前20名，則第5次不能參加競(jìng)賽.假設(shè)某學(xué)生每次成績(jī)達(dá)全區(qū)前20名的概率都是，每次競(jìng)賽成績(jī)達(dá)全區(qū)前20名與否互相獨(dú)立.

（1）求該學(xué)生進(jìn)入省隊(duì)的概率.

（2）如果該學(xué)生進(jìn)入省隊(duì)或參加完5次競(jìng)賽就結(jié)束，記該學(xué)生參加競(jìng)賽的次數(shù)為，求的分布列及的數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，矩形所在的平面和平面互相垂直，等腰梯形中，，，，，，分別為，的中點(diǎn)，為底面的重心.

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

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同步練習(xí)冊(cè)答案