Question

某班級舉行一次知識競賽活動，活動分為初賽和決賽兩個階段、現(xiàn)將初賽答卷成績（得分均為整數(shù)，滿分為100分）進行統(tǒng)計，制成如下頻率分布表．

分數(shù)（分數(shù)段）	頻數(shù)（人數(shù)）	頻率
[60，70）	①	0.16
[70，80）	22	②
[80，90）	14	0.28
[90，100）	③	④
合計	50	1

（1）填充頻率分布表中的空格（在解答中直接寫出對應(yīng)空格序號的答案）；
（2）決賽規(guī)則如下：參加決賽的每位同學(xué)依次口答4道小題，答對2道題就終止答題，并獲得一等獎．如果前三道題都答錯，就不再答第四題．某同學(xué)進入決賽，每道題答對的概率P的值恰好與頻率分布表中不少于80分的頻率的值相同．
①求該同學(xué)恰好答滿4道題而獲得一等獎的概率；
②記該同學(xué)決賽中答題個數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)樣本容量，頻率和頻數(shù)之間的關(guān)系得到要求的幾個數(shù)據(jù)，注意第三個數(shù)據(jù)是用樣本容量減去其他三個數(shù)得到．
（2）①該同學(xué)恰好答滿4道題而獲得一等獎，即前3道題中剛好答對1道，第4道也能夠答對才獲得一等獎，根據(jù)相互獨立事件的概率公式得到結(jié)果．
②答對2道題就終止答題，并獲得一等獎，所以該同學(xué)答題個數(shù)為2、3、4．即X=2、3、4，結(jié)合變量對應(yīng)的概率，寫出分布列和期望．

解答：解：（1）根據(jù)樣本容量，頻率和頻數(shù)之間的關(guān)系得到①0.16×50=8②

22

50

=0.44
③50-8-22-14=6④

6

50

=0.12
（2）由（1）得，p=0.4，
①該同學(xué)恰好答滿4道題而獲得一等獎，即前3道題中剛好答對1道，
第4道也能夠答對才獲得一等獎，
則有C₃¹×0.4×0.6²×0.4=0.1728．
②答對2道題就終止答題，并獲得一等獎，
∴該同學(xué)答題個數(shù)為2、3、4．
即X=2、3、4，
P（X=2）=0.4²=0.16，
P（X=3）=C₂¹0.4×0.6×0.4+0.6³=0.408，
P（X=4）=C₃¹0.4×0.6²=0.432，
∴分布列為：

∴EX=2×0.16+3×0.408+4×0.432=3.272．

點評：本小題考查頻率、頻數(shù)和樣本容量之間的關(guān)系，考查離散型隨機變量的隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望，是一個綜合題．