Question

將編號為1、2、3、4的四個小球放入甲、乙、丙三只盒子內．
（1）若三只盒子都不空，且3號球必須在乙盒內有多少種不同的放法；
（2）若1號球不在甲盒內，2號球不在乙盒內，有多少種不同放法．

Answer 1

分析：（1）1，2，4號的小球有兩種不同的分法，可以分成1，1，1，或者1，2，這兩種情況是互斥的，當三個球在三個盒子中全排列有A₃³種結果，當三個球分成兩份，在甲和丙盒子中排列，共有C₃²A₂²種結果，相加得到結果．
（2）由題意知本題是一個分步計數問題，首先1號球不放在甲盒中，有2種放法，2號球不在乙盒，有2種結果，3和4號球有3種結果，相乘得到結果．

解答：解：（1）由題意知三只盒子都不空，且3號球必須在乙盒內，
其余的小球有兩種不同的分法，可以分成1，1，1，或者1，2，這兩種情況是互斥的，
當三個球在三個盒子中全排列有A₃³=6種結果，
當三個球分成兩份，在甲和丙盒子中排列，共有C₃²A₂²=6種結果
∴由分類計數原理知共有6+6=12種結果．
（2）由題意知本題是一個分步計數問題，
∵首先1號球不放在甲盒中，有2種放法，
2號球不在乙盒，有2種結果，
3號球有3種結果
4號球有3種結果，
∴根據分步計數原理知共有2×2×3×3=36種結果，
答：（1）若三只盒子都不空，且3號球必須在乙盒內有12種不同的放法；
（2）若1號球不在甲盒內，2號球不在乙盒內，有36種不同放法．

點評：本題考查排列組合的實際應用，本題解題的關鍵是注意題目中有限制條件的元素的排法，先排列有限制條件的，本題是一個中檔題目