Question

已知數(shù)列的前項(xiàng)和，．
（Ⅰ）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
（Ⅱ）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

Answer 1

(I) 詳見解析；（II）．

試題分析：(I) 求證：數(shù)列是等差數(shù)列，首先確定數(shù)列的通項(xiàng)公式或關(guān)系式，由，求數(shù)列的通項(xiàng)公式或關(guān)系式，可利用來求，注意需討論時(shí)的情況，本題由，得到數(shù)列的遞推式，，根據(jù)，證明等于與無關(guān)的常數(shù)即可；（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和，需求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，，這是一個(gè)等比數(shù)列與一個(gè)等差數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)積所組成的數(shù)列，故可用錯(cuò)位相減法來求．
試題解析：（I）,當(dāng)時(shí)，，，       1分
當(dāng)時(shí)，，                                 2分
， ，              4分
，又，
是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列.                  7分
（II），，                                 8分
.                                        9分
，①
，    ②          11分
①－②得，
 ，     13分
.                                     14分