【題目】已知多面體,,,均垂直于平面,,,,.
(1)證明:⊥平面;
(2)求直線與平面所成的角的正弦值.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)直線與平面所成的角的正弦值為.
【解析】
(1)根據(jù)直線與平面垂直的判定定理,要證平面,只需證與平面兩條相交直線垂直。根據(jù)已知條件可求與的長(zhǎng)度,然后跟據(jù)勾股定理可證.。同理可得.,進(jìn)而可得平面。(2)要求直線與平面所成的角的正弦值,應(yīng)先作角。由條件可得平面平面 。所以過(guò)點(diǎn)作,交直線于點(diǎn),連結(jié). 可知是與平面所成的角.根據(jù)條件可求的三邊長(zhǎng),進(jìn)而可由余弦定理求得 ,然后可求。進(jìn)而求得,在中即可求得結(jié)果。
(1)由得,
所以.
故.
由, 得,
由得,
由,得,所以,故.
因此平面.
(2)如圖,過(guò)點(diǎn)作,交直線于點(diǎn),連結(jié).
由平面得平面平面,
由得平面,
所以是與平面所成的角.
由得,
所以,故.
因此,直線與平面所成的角的正弦值是.
方法二:
(1)如圖,以AC的中點(diǎn)O為原點(diǎn),分別以射線OB,OC為x,y軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.
由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)如下:
因此
由得.
由得.
所以平面.
(2)設(shè)直線與平面所成的角為.
由(Ⅰ)可知
設(shè)平面的法向量.
由即可取.
所以.
因此,直線與平面所成的角的正弦值是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知以點(diǎn)A(-1,2)為圓心的圓與直線l1:x+2y+7=0相切.過(guò)點(diǎn)B(-2,0)的動(dòng)直線l與圓A相交于M,N兩點(diǎn).
(1)求圓A的方程;
(2)當(dāng)|MN|=2時(shí),求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱中,點(diǎn)P,G分別是,的中點(diǎn),已知⊥平面ABC,==3,==2.
(I)求異面直線與AB所成角的余弦值;
(II)求證:⊥平面;
(III)求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知命題:實(shí)數(shù)滿足,:實(shí)數(shù)滿足
(1)若為真命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
(2)若是的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列的前三項(xiàng)依次為a,3,5a,前n項(xiàng)和為Sn,且Sk=121.
(1)求a及k的值;
(2)設(shè)數(shù)列{bn}的通項(xiàng)bn=,證明數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,并求其前n項(xiàng)和Tn.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分)
如圖,在四棱錐P—ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB,BP=BC=2,E,F分別是PB,PC的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:EF∥平面PAD;
(Ⅱ)求三棱錐E—ABC的體積V.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖甲,在直角梯形PBCD中,PB∥CD,CD⊥BC,BC=PB=2CD,A是PB的中點(diǎn).
現(xiàn)沿AD把平面PAD折起,使得PA⊥AB(如圖乙所示),E、F分別為BC、AB邊的中點(diǎn).
(1)求證:平面PAE⊥平面PDE;
(2)在PE上找一點(diǎn)Q,使得平面BDQ⊥平面ABCD.
(3)在PA上找一點(diǎn)G,使得FG∥平面PDE.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)P是不等式組 表示的平面區(qū)域內(nèi)的任意一點(diǎn),向量 =(1,1), =(2,1),若 =λ +μ (λ,μ為實(shí)數(shù)),則λ﹣μ的最大值為( )
A.4
B.3
C.﹣1
D.﹣2
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【題目】已知函數(shù)f(x)= ,曲線f(x)= 在點(diǎn)(e,f(e))處的切線與直線e2x﹣y+e=0垂直.(注:e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)) (Ⅰ)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(m,m+1)上存在極值,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(Ⅱ)求證:當(dāng)x>1時(shí), > .
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