Question

在等差數(shù)列中，，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）是否存在正整數(shù)、，且，使得、、成等比數(shù)列？若存在，求出所有符合條件的、的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）存在，且，.

【解析】

試題分析：（1）將等差數(shù)列中的相應(yīng)式子轉(zhuǎn)化為首項(xiàng)和公差的二元一次方程組，求出首項(xiàng)和公差，最后再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）先將數(shù)列的通項(xiàng)公式結(jié)構(gòu)選擇裂項(xiàng)求和法求數(shù)列的前項(xiàng)和，然后根據(jù)條件列式，利用正整數(shù)的一些相關(guān)性質(zhì)列不等式求出、的值.

試題解析：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092000070911954607/SYS201309200008278909630550_DA.files/image011.png">即                           2分

解得                                     3分

所以．

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．                    4分

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092000070911954607/SYS201309200008278909630550_DA.files/image016.png">，                  5分

所以數(shù)列的前項(xiàng)和

．                             7分

假設(shè)存在正整數(shù)、，且，使得、、成等比數(shù)列，

則．                                   8分

即．                              9分

所以．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092000070911954607/SYS201309200008278909630550_DA.files/image026.png">，所以．

即．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092000070911954607/SYS201309200008278909630550_DA.files/image029.png">，所以．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092000070911954607/SYS201309200008278909630550_DA.files/image031.png">，所以．                             12分

此時．                            13分

所以存在滿足題意的正整數(shù)、，且只有一組解，即，．          14分

考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)求和法，數(shù)列的存在性問題.