已知圓N:（x+2）2+y2=8和拋物線C: y2= 2x，圓N的切線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)A，B.

（I）當(dāng)直線l的斜率為1時(shí)，求線段AB的長；

（II）設(shè)點(diǎn)M和點(diǎn)N關(guān)于直線y=x對(duì)稱，問是否存在直線l，使得?若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

【答案】

 （1） .（2）.

【解析】(I)直線l的方程為y=x+m,根據(jù)直線l與圓相切，求出m值，然后再與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)弦長公式求出AB的值。

（II）由于點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于直線y=x對(duì)稱，從而可求出M的坐標(biāo)，然后利用,把此條件用坐標(biāo)表示出來，借助韋達(dá)定理建立關(guān)于k的方程，求出k值，再驗(yàn)證是否滿足判別式大于零

因?yàn)閳AN：，所以圓心N為（-2,0），半徑，

………1分

設(shè)，，

  （1）當(dāng)直線的斜率為1時(shí)，設(shè)的方程為即，因?yàn)橹本�是圓N的切線，所以，解得或（舍去）

         此時(shí)直線的方程為， ………………3分

由 消去得，所以，，，

所以弦長 .……………………6分

（2）①設(shè)直線的方程為即（），

          因?yàn)橹本�是圓N的切線，所以，

得  ①………………8分

由 消去得 ，

所以即且， ，.

因?yàn)辄c(diǎn)M和點(diǎn)N關(guān)于直線對(duì)稱，所以點(diǎn)M為

所以，，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821082796625836/SYS201207182109210756591247_DA.files/image037.png">，所以+ ，……9分

將A，B在直線上代入化簡得，

.

代入，得  

化簡得      ………②

①+②得

即，解得或 

       當(dāng)時(shí)，代入①解得，滿足條件且，

             此時(shí)直線的方程為；

       當(dāng)時(shí)，代入①整理得 ，無解.………………11分

②                當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，因?yàn)橹本�是圓N的切線，所以的方程為，則得，，

即

       由①得：

       =

  當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)不成立.

綜上所述，存在滿足條件的直線，其方程為.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓M：(x+
5
)2+y2=36，定點(diǎn)N(
5
，0)，點(diǎn)P為圓M上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在NP上，點(diǎn)G在MP上，且滿足
NP
=2
NQ
，
GQ
•
NP
=0．
（I）求點(diǎn)G的軌跡C的方程；
（II）過點(diǎn)（2，0）作直線l，與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)
OS
=
OA
+
OB
，是否存在這樣的直線l，使四邊形OASB的對(duì)角線相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直線l的方程；若不存在，試說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓A：(x+2)2+y2=
25
4
，圓B：(x-2)2+y2=
1
4
，動(dòng)圓P與圓A、圓B均外切，直線l的方程為x=a（a≤
1
2
）．
（Ⅰ） 求動(dòng)圓P的圓心的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)B的直線與曲線C交于M、N兩點(diǎn)，（1）求|MN|的最小值；（2）若MN的中點(diǎn)R在l上的射影Q滿足MQ⊥NQ，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓M：(x+)2+y2=36，定點(diǎn)N(，0)，點(diǎn)P為圓M上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在NP上，點(diǎn)G在MP上，且滿足=2，=0．

(1)求點(diǎn)C的軌跡C的方程；

(2)過點(diǎn)(2，0)作直線l，與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)，是否存在這樣的直線l,使四邊形OASB的對(duì)角線相等(即|OS|=|AB|)?若存在，求出直線J的方程；若不存在，試說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓M：(x+)2+y2=36,定點(diǎn)N(，0)，點(diǎn)P為圓M上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在NP上，點(diǎn)G在MP上，且滿足=0.

(1)(理22(1)文21(1))求點(diǎn)G的軌跡C的方程；

(2)(理22(2))過點(diǎn)(2，0)作直線l，與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)，是否存在這樣的直線l，使四邊形OASB的對(duì)角線相等(即|OS|=|AB|)？若存在，求出直線l的方程，若不存在，試說明理由.

(文21(2))直線l的方程為l:3x-2y-6=0，與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求證：四邊形OASB為矩形.

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