Question

對于函數(shù)若存在,使得成立,則稱為的不動點.
已知
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的不動點;
(2)若對任意實數(shù),函數(shù)恒有兩個相異的不動點,求的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,若圖象上、兩點的橫坐標(biāo)是函數(shù)的不動點,且、兩點關(guān)于直線對稱,求的最小值.

Answer 1

（1）-1和3;（2）；（3）．

試題分析：(1)根據(jù)不動點的定義，本題實質(zhì)是求方程即的解；（2）函數(shù)恒有兩個相異的不動點即方程恒有兩個不等實根，對應(yīng)的判別式恒成立；（3）、兩點關(guān)于直線對稱，可用的結(jié)論有：①直線AB與直線垂直，即斜率互為負(fù)倒數(shù)；②線段AB的中點在直線上．注意不動點A、B所在直線AB的斜率為1．
試題解析： (1)時,,
 
函數(shù)的不動點為-1和3;
(2)即有兩個不等實根,轉(zhuǎn)化為有兩個不等實根,需有判別式大于0恒成立
即,
的取值范圍為;
(3)設(shè),則,
的中點的坐標(biāo)為,即
兩點關(guān)于直線對稱,
又因為在直線上, ,
的中點在直線上,

利用基本不等式可得當(dāng)且僅當(dāng)時,b的最小值為.