Question

設(shè)點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上的個(gè)不同的點(diǎn)（）.
（1） 當(dāng)時(shí)，試寫出拋物線上的三個(gè)定點(diǎn)、、的坐標(biāo)，從而使得
；
（2）當(dāng)時(shí)，若，
求證：；
（3） 當(dāng)時(shí)，某同學(xué)對（2）的逆命題，即：
“若，則.”
開展了研究并發(fā)現(xiàn)其為假命題.
請你就此從以下三個(gè)研究方向中任選一個(gè)開展研究：
① 試構(gòu)造一個(gè)說明該逆命題確實(shí)是假命題的反例（本研究方向最高得4分）；
② 對任意給定的大于3的正整數(shù)，試構(gòu)造該假命題反例的一般形式，并說明你的理由（本研究方向最高得8分）；
③ 如果補(bǔ)充一個(gè)條件后能使該逆命題為真，請寫出你認(rèn)為需要補(bǔ)充的一個(gè)條件，并說明加上該條件后，能使該逆命題為真命題的理由（本研究方向最高得10分）.
【評分說明】本小題若填空不止一個(gè)研究方向，則以實(shí)得分最高的一個(gè)研究方向的得分作為本小題的最終得分.

Answer 1

見解析

第一問利用拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)，
分別過作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為.
由拋物線定義得到
第二問設(shè)，分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線，垂足分別為.
由拋物線定義得


第三問中①取時(shí)，拋物線的焦點(diǎn)為，
設(shè)，分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線，垂足分別為.由拋物線定義得

，
則，不妨取；；；
解：（1）拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)，
分別過作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為.由拋物線定義得


因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823215952096421.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
故可取滿足條件.
（2）設(shè)，分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線，垂足分別為.
由拋物線定義得


  又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823215952720907.png" style="vertical-align:middle;" />

；
所以.
（3） ①取時(shí)，拋物線的焦點(diǎn)為，
設(shè)，分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線，垂足分別為.由拋物線定義得

，
則，不妨取；；；，
則，
.
故，，，是一個(gè)當(dāng)時(shí)，該逆命題的一個(gè)反例.(反例不唯一)
② 設(shè)，分別過作
拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，
由及拋物線的定義得
，即.
因?yàn)樯鲜霰磉_(dá)式與點(diǎn)的縱坐標(biāo)無關(guān)，所以只要將這點(diǎn)都取在軸的上方，則它們的縱坐標(biāo)都大于零，則

，
而，所以.
（說明：本質(zhì)上只需構(gòu)造滿足條件且的一組個(gè)不同的點(diǎn)，均為反例.）
③ 補(bǔ)充條件1：“點(diǎn)的縱坐標(biāo)（）滿足 ”，即：
“當(dāng)時(shí)，若，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)（）滿足，則”.此命題為真.事實(shí)上，設(shè)，
分別過作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，由，
及拋物線的定義得，即，則

，
又由，所以，故命題為真.
補(bǔ)充條件2：“點(diǎn)與點(diǎn)為偶數(shù)，關(guān)于軸對稱”，即：
“當(dāng)時(shí)，若，且點(diǎn)與點(diǎn)為偶數(shù)，關(guān)于軸對稱，則”.此命題為真.（證略）