（本題滿分12分）如圖，底面為菱形的四棱錐P-ABCD中，∠ABC=60°，AC=1, PA=2, PB=PD=，點(diǎn)M是PD的中點(diǎn)．

(Ⅰ)證明：PA⊥平面ABCD；

(Ⅱ)若AN為PD邊的高線，求二面角M-AC-N的余弦值．

 

【答案】

 

 

證明：見解析；

（Ⅱ）．

【解析】本試題主要是考查了線面垂直的判定和二面角平面角的求解的綜合運(yùn)用。

（1）要證明線面垂直，要通過判定定理線線垂直得到線面垂直，關(guān)鍵是證明，。

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，然后表示出平面的法向量與法向量的夾角，進(jìn)而求解二面角的平面角的大小的求解。

證明：（Ⅰ）∵菱形ABCD中∠ABC=60°，

∴ABC為等邊三角形

∴--------1分

又∵，

∴有，

∴，-------3分

∴，，而

∴平面（4分）

（Ⅱ）取BC中點(diǎn)E，連結(jié)AE，則AE⊥BC．以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AE為x軸正向，AD為y軸正向，AP為z軸正向建立空間直角坐標(biāo)系，則

（5分）

在PAD內(nèi)，AD=1, AP=2，∴PD=, AN=，點(diǎn)

（6分）

設(shè)平面AMC的一個(gè)法向量為，則

，

令y=1, 則，得平面AMC的一個(gè)法向量；（8分）

設(shè)平面ANC的法向量為，則，

令y=1, 得平面ANC的一個(gè)法向量（10分）

設(shè)二面角M-AC-N的平面角為，由圖像知其必為銳角，從而有（12分）

．

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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（本題滿分12分）

如圖所示的幾何體是由以正三角形為底面的直棱柱被平面所截而得. ，為的中點(diǎn)．

（1）當(dāng)時(shí)，求平面與平面的夾角的余弦值；

（2）當(dāng)為何值時(shí)，在棱上存在點(diǎn)，使平面？

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年湖北省八市高三3月聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

（本題滿分12分）如圖，在長(zhǎng)方體中，已知上下兩底面為正方形，且邊長(zhǎng)均為1；側(cè)棱，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

（Ⅰ）確定點(diǎn)的位置，使得；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求二面角的平

面角余弦值.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年廣西桂林中學(xué)高三7月月考試題理科數(shù)學(xué) 題型：解答題

（本題滿分12分）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，且PD=AB=2，E是PB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)．

 ⑴求異面直線PD與AE所成角的大�。�

 ⑵求證：EF⊥平面PBC ；

 ⑶求二面角F—PC—B的大小．.

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年湖南省招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué) 題型：解答題

 

（本題滿分12分）

如圖3，在圓錐中，已知的直徑的中點(diǎn)．

（I）證明：

（II）求直線和平面所成角的正弦值．

 

 

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（本題滿分12分）

如圖，三棱錐S—ABC中，AB⊥BC，D、E分別為AC、BC的中點(diǎn)，SA=SB=SC。

   （1）求證：BC⊥平面SDE；

   （2）若AB=BC=2，SB=4，求三棱錐S—ABC的體積。

 

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