Question

【題目】如圖，四棱錐的底面為菱形，，側(cè)面是邊長為的正三角形，側(cè)面底面．

（）設(shè)的中點(diǎn)為，求證：平面．

（）求斜線與平面所成角的正弦值．

（）在側(cè)棱上存在一點(diǎn)，使得二面角的大小為，求的值．

Answer 1

【答案】（）見解析；（）；（）．

【解析】試題分析：（I）由Q為側(cè)面正三角形PAB的邊AB的中點(diǎn)，可得PQ⊥AB，再利用面面垂直的性質(zhì)定理即可證明線面垂直；（II）通過結(jié)論空間直角坐標(biāo)系，利用斜線的方向向量和平面的法向量的夾角即可得出；（III）利用兩個(gè)平面的法向量的夾角即可得到二面角，進(jìn)而解出．

解析：

（）證明：∵側(cè)面是正三角形，中點(diǎn)為，

∴，

∵側(cè)面底面，

側(cè)面底面，

側(cè)面，

∴平面．

（）連接，設(shè)點(diǎn)，

以為原點(diǎn)，，過點(diǎn)且垂直于平面的直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，

，，，，，，

平面的法向量，

設(shè)斜線與平面所成角為，

則．

（）設(shè)，

，，

，

設(shè)平面的法向量為，

∴，，

，

取，，

又∵平面的法向量，

∴，

∴，

解出（舍去）或，

此時(shí)．