（本小題滿分12分）
如圖，在三棱柱
中，所有的棱長都為2，
.
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）當三棱柱
的體積最大時，求平面
與平面
所成的銳角的余弦值.
（Ⅰ）略（Ⅱ）
（Ⅰ）證明：取
的中點
，連接
，
在三棱柱
中，所有棱長都為2，
則
，所以
平面
而
平面
，故
（Ⅱ）當三棱柱
的體積最大時，點
到平面
的距離最大，此時
平面
.設(shè)平面
與平面
的交線為
，
在三棱柱
中，
，
平面
，則
，
過點
作
交于點
，連接
.由
，
知
平面
，
則
，故
為平面
與平面
所成二面角的平面角。
在
中，
,則
在
中，
，
,
即平面
與平面
所成銳角的余弦值為
。
方法2：當三棱柱
的體積最大時，點
到平面
的距離最大，此時
平面
.以
所在的直線分別為
軸，建立直角坐標系，依題意得
.
由
得
，設(shè)平面
的一個法向量為
而
，則
，取
而
平面
，則平面
的一個法向量為
于是
，
故平面
與平面
所成銳角的余弦值為
。
練習冊系列答案
相關(guān)習題
科目：高中數(shù)學
來源：不詳
題型：解答題
如圖，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正力形，∠PAD=90
0，且PA=AD=2，E、F、G分別是線段PA、PD、CD的中點。
（1）求證：PB∥平面EFG；
（2）求異面直線EG與BD所成的角；
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科目：高中數(shù)學
來源：不詳
題型：單選題
已知三棱錐的側(cè)棱長的底面邊長的2倍，則側(cè)棱與底面所成角的余弦值等于（ ）
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科目：高中數(shù)學
來源：不詳
題型：單選題
四面體
的六條棱長分別為
，且知
，則
.
、
�。�
、
��；
、
��；
、
．
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科目：高中數(shù)學
來源：不詳
題型：解答題
如圖，四邊形ABCD為矩形，DA⊥平面ABE，
AE=EB=BC=2，EB⊥平面ACE于點F，且點F在CE上。
（1）求證：AE⊥BE；（2）求三棱錐D—AEC的體積；
（3）設(shè)點M在線段AB上，且滿足AM=2MB，試在線段CE上確定一點N，使得MN//平面DAE。
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科目：高中數(shù)學
來源：不詳
題型：解答題
如圖在正方體
中，M、N、G分別是
的中點
（1）判斷直線
與平面
的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論
（2）求證
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科目：高中數(shù)學
來源：不詳
題型：解答題
（本題滿分共12分）如圖，在
中，
為
邊上高，
，
，沿
將
翻折，使得
，得到幾何體
。（1）求證：
；
（2）求
與平面
成角的正切值。
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科目：高中數(shù)學
來源：不詳
題型：單選題
已知直線
平面
，直線
平面
，給出下列命題中
①
∥
；②
∥
；
③
∥
；④
∥
.其中正確的是( )
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科目：高中數(shù)學
來源：不詳
題型：解答題
一個長、寬、高分別為a、b、c長方體的體積是8cm2，它的全面積是32cm2，且滿足b2=ac，求這個長方體所有棱長之和．
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