Question

（2007•普陀區(qū)一模）現(xiàn)有問題：“對任意x＞0，不等式x-a+

1

x+a

＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．”有兩位同學用數(shù)形結合的方法分別提出了自己的解題思路和答案：
學生甲：在一個坐標系內作出函數(shù)f(x)=

1

x+a

和g（x）=-x+a的大致圖象，隨著a的變化，要求f（x）的圖象再y軸右側的部分恒在g（x）的上方．可解得a的取值范圍是[0，+∞]
學生乙：在坐標平面內作出函數(shù)f(x)=x+a+

1

x+a

的大致圖象，隨著a的變化，要求f（x）的圖象再y軸右側的部分恒在直線y=2a的上方．可解得a的取值范圍是[0，1]．
則以下對上述兩位同學的解題方法和結論的判斷都正確的是（　�。�

A．甲同學方法正確，結論錯誤

B．乙同學方法正確，結論錯誤

C．甲同學方法正確，結論正確

D．乙同學方法錯誤，結論正確

Answer 1

分析：數(shù)形結合解決恒成立問題，應盡量使被研究函數(shù)是我們熟悉的基本函數(shù)，本例中學生甲使用的函數(shù)為一次函數(shù)和反比例函數(shù)與一次函數(shù)的簡單復合，符合數(shù)形結合的要求，但學生甲的結論顯然是錯誤的；對于學生乙，選擇的函數(shù)是我們不太熟悉的函數(shù)，解決問題困難較大

解答：解：函數(shù)f(x)=

1

x+a

的圖象是將函數(shù)y=

1

x

的圖象向左（a＞0），或向右（a＜0）平移|a|個單位得到的
函數(shù)g（x）=-x+a的圖象是斜率為-1，在y軸上的截距為a的直線，
當a=0和a=1時，兩函數(shù)在y軸右側的圖象如圖
要使f（x）的圖象再y軸右側的部分恒在g（x）的上方
數(shù)形結合可知a的取值范圍是[0，1]．
故選A

點評：本題考查了數(shù)形結合解決不等式恒成立問題的方法，由于本題中兩個函數(shù)都在動，給數(shù)形結合帶來一定難度，解題時要善于從特殊值入手，理解題意，解決問題