【題目】已知f(x)是定義在[m,n]上的函數(shù),記F(x)=f(x)﹣(ax+b),|F(x)|的最大值為M(a,b).若存在m≤x1<x2<x3≤n,滿足|F(x1)|=M(a,b),F(xiàn)(x2)=﹣F(x1).F(x3)=F(x1),則稱一次函數(shù)y=ax+b是f(x)的“逼近函數(shù)”,此時(shí)的M(a,b)稱為f(x)在[m,n]上的“逼近確界”.
(1)驗(yàn)證:y=4x﹣1是g(x)=2x2 , x∈[0,2]的“逼近函數(shù)”;
(2)已知f(x)= ,x∈[0,4],F(xiàn)(0)=F(4)=﹣M(a,b).若y=ax+b是f(x)的“逼近函數(shù)”,求a,b的值;
(3)已知f(x)= ,x∈[0,4]的逼近確界為 ,求證:對任意常數(shù)a,b,M(a,b)≥

【答案】
(1)解:記G(x)=2x2﹣(4x﹣1)=2(x﹣1)2﹣1,x∈[0,2].則|G(x)|的最大值為1,

且G(0)=1,G(1)=﹣1,G(2)=1.故y=4x﹣1是g(x)=2x2,x∈[0,2]的“逼近函數(shù)”.


(2)解:F(x)= ﹣(ax+b),由 ,可得M(a,b)=b,a=

存在x0∈(0,4)滿足F(x2)=M(a,b),即F(a,b)max=F(x2)=b,

即F(x)= x﹣b=﹣ + ﹣b,故x2=1.

由F(1)= ﹣b=b,可得b=


(3)解:證明:M(a,b)= = |t﹣at2﹣b

|=

當(dāng) [0,2]時(shí),2M(a,b)≥|b|+|2﹣4a﹣b|≥|2﹣4a|>1,故M(a,b)≥


【解析】(1)記G(x)=2x2﹣(4x﹣1)=2(x﹣1)2﹣1,x∈[0,2].利用二次函數(shù)的單調(diào)性可得|G(x)|的最大值為1,且G(0)=1,G(1)=﹣1,G(2)=1.(2)F(x)= ﹣(ax+b),由 ,可得M(a,b)=b,a= .存在x0∈(0,4)滿足F(x2)=M(a,b),即F(a,b)max=F(x2)=b,即可得出.(3)M(a,b)= = |t﹣at2﹣b|= .即可得出.

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B.
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D.

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(2)設(shè)N(0,2),M為曲線C上的動(dòng)點(diǎn),求|MN|的最小值;
(3)過A且斜率為k的直線l與“羽毛球形線”相交于P,A,Q三點(diǎn),問是否存在實(shí)數(shù)k,使得∠QBA=∠PBA?若存在,求出k的值;若不存在,請說明理由.

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(3)如果an=f(an1)(n∈N*且n≥2),求出數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn

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