Question

已知數(shù)列{a_n}，{b_n}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)c_n=，n∈N^*
（Ⅰ）證明：數(shù)列{c_n}是等比數(shù)列，數(shù)列{lna_n}是等差數(shù)列．
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{lna_n}，{lnb_n}的前n項和分別是S_n，T_n．若a₁=2，=，求數(shù)列{c_n}的通項公式．
（Ⅲ）在（Ⅱ）條件下，設(shè)d_n=，求數(shù)列{d_n}的前n項和．

Answer 1

解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}、b_n的公比分別為p、q（p＞0，q＞0），
則由題意可得，
∴，c₁=a₁•b₁
所以數(shù)列c_n以a₁•b₁為首項，以pq為公比的等比數(shù)列
又因為，
數(shù)列l(wèi)na_n以lna₁為首項，以lnp為公差的等差數(shù)列
（2）由題意可得，
∴==
∴
∴
∴p=4，q=16，b₁=8
∴a_n=2•4^n-1=2^2n-1，b_n=8•16^n-1=2^4n-1
（III）由（II）可得
=
=
=
∴d₁+d₂+d₃+…+d_n
=
=
分析：（I）根據(jù)已知條件可設(shè)，要證明數(shù)列c_n為等比數(shù)列只要證明；要證數(shù)列l(wèi)na_n為等差數(shù)列，只要證為常數(shù)
（II）利用（I）的條件可知數(shù)列l(wèi)na_nlnb_n都為等差數(shù)列，代入等差數(shù)列的和公式整理可得，根據(jù)對應(yīng)項相等可得p、q、b₁，進而求出a_n，b_n
（III）代入（II）中的條件整理可得，用裂項求和的方法可得結(jié)果．
點評：本題主要考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義及判定，考查了等差數(shù)列前n項和公式的理解和運用及數(shù)列求和中的裂項求和的方法，裂項后要注意相消的項及余下的項的規(guī)律．