Question

【題目】記．

（1）求方程的實數(shù)根；

（2）設(shè)，，均為正整數(shù)，且為最簡根式，若存在，使得可唯一表示為的形式，試求橢圓的焦點坐標(biāo)；

（3）已知，是否存在，使得成立，若存在，試求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）2（2），．（3）不存在．見解析

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)解析式化簡方程，求解即可；（2）要求橢圓焦點坐標(biāo)，應(yīng)先求的值，因為，由二項展開可得，這里，，為了得到，先得，相乘得，再結(jié)合條件，進而可求得，可得結(jié)果；

（3）不存在，使得成立，即證對任意，都有，由條件可得即證在下，不等式恒成立．

方法一，當(dāng)時，不等式恒成立易證；當(dāng)，且時，用二項式定理展開，然后縮小可證不等式恒成立；方法二，用數(shù)學(xué)歸納法證明；方法三，由已知可設(shè)，由可得，將不等式的左邊化簡為

，利用二項式定理展開縮小可證。

解：（1）由得，

∵，∴

∴，即所求方程的實數(shù)根為2．

（2）因為為最簡根式，且，，，所以由二項展開可得

，這里，，

則．

兩式相乘得．

即，

現(xiàn)由，

又依題意得：，便知，

知由（*）得，即．

因此，橢圓方程為，

故，其焦點坐標(biāo)為，．

（3）不存在．

只須證：對任意，都有．

證明如下，由

可得，

注意到

，

故亦只須證：在下，

不等式恒成立．

方法一：∵，，

∴由已知可得從而．

當(dāng)時，因，，

故成立．

當(dāng)，且時，

…

．

綜上，對一切成立．

方法二：∵，，

∴，從而，

因此

（i）當(dāng)時，因，，

故成立．

（ii）假設(shè)當(dāng)時，不等式成立，即

那么，當(dāng)時，注意到，，故

，

即成立，這就是說，當(dāng)時，不等式也成立．

綜上所述，不等式對一切成立．

方法三：由已知可設(shè)，由可得，

注意到，

從而，

，

因此，不等式對一切均成立．