Question

如右圖（1）所示，定義在區(qū)間上的函數(shù)，如果滿     
足：對，常數(shù)A，都有成立，則稱函數(shù)  
在區(qū)間上有下界，其中稱為函數(shù)的下界. （提示：圖(1)、（2）中的常數(shù)、可以是正數(shù)，也可以是負數(shù)或零）
（Ⅰ）試判斷函數(shù)在上是否有下界？并說明理由；
（Ⅱ）又如具有右圖（2）特征的函數(shù)稱為在區(qū)間上有上界.
請你類比函數(shù)有下界的定義，給出函數(shù)在區(qū)間上
有上界的定義，并判斷（Ⅰ）中的函數(shù)在上是否
有上界？并說明理由；                   
（Ⅲ）若函數(shù)在區(qū)間上既有上界又有下界，則稱函數(shù)
在區(qū)間上有界，函數(shù)叫做有界函數(shù)．試探究函數(shù) （是常數(shù)）是否是（、是常數(shù)）上的有界函數(shù)？

Answer 1

(Ⅰ)  A=32  (Ⅱ) 存在常數(shù)B=－32（III）上的有界函數(shù)

：（I）解法1：∵，由得，
       ∵，      ∴，---2分
∵當時，，∴函數(shù)在（0，2）上是減函數(shù)；
當時，，∴函數(shù)在（2，＋）上是增函數(shù)；
∴是函數(shù)的在區(qū)間（0，＋）上的最小值點，
∴對，都有，---4分即在區(qū)間（0，＋）上存在常數(shù)A=32,使得對都有成立，∴函數(shù)在（0，＋）上有下界. ---5分   
[解法2：
當且僅當即時“＝”成立∴對，都有，
即在區(qū)間（0，＋）上存在常數(shù)A=32,使得對都有成立，
∴函數(shù)在（0，＋）上有下界.
（II）類比函數(shù)有下界的定義，函數(shù)有上界可以這樣定義：
定義在D上的函數(shù)，如果滿足：對，常數(shù)B，都有≤B成立，則稱函數(shù)在D上有上界，其中B稱為函數(shù)的上界. -----7分
設(shè)則，由（1）知，對，都有，
∴，∵函數(shù)為奇函數(shù)，∴
∴，∴
即存在常數(shù)B=－32，對，都有,
∴函數(shù)在（－， 0）上有上界. ---------9分
（III）∵，由得，∵
∴    ∵ ，  ∴，----------10分
∵當時，，∴函數(shù)在（0，）上是減函數(shù)；
當時，，∴函數(shù)在（，＋）上是增函數(shù)；
∴是函數(shù)的在區(qū)間（0，＋）上的最小值點， ------11分
①當時，函數(shù)在上是增函數(shù)；
∴
∵、是常數(shù)，∴、都是常數(shù)
令,
∴對，常數(shù)A,B,都有
即函數(shù)在上既有上界又有下界--------12分
②當  時函數(shù)在上是減函數(shù)
∴對都有∴函數(shù)在上有界.-- -13分
③當時，函數(shù)在上有最小值
＝
令,令B=、中的最大者則對，常數(shù)A,B,都有
∴函數(shù)在上有界.綜上可知函數(shù)是上的有界函數(shù)---14分