【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點,其短半軸長為,一個焦點坐標(biāo)為,點在橢圓上,點在直線上的點,且.
證明:直線與圓相切;
求面積的最小值.
【答案】證明見解析;1.
【解析】
由題意可得橢圓的方程為,由點在直線上,且知的斜率必定存在,分類討論當(dāng)的斜率為時和斜率不為時的情況列出相應(yīng)式子,即可得出直線與圓相切;
由知,的面積為
解:由題意,橢圓的焦點在軸上,且,所以.
所以橢圓的方程為.
由點在直線上,且知的斜率必定存在,
當(dāng)的斜率為時,,,
于是,到的距離為,直線與圓相切.
當(dāng)的斜率不為時,設(shè)的方程為,與聯(lián)立得,
所以,,從而.
而,故的方程為,而在上,故,
從而,于是.
此時,到的距離為,直線與圓相切.
綜上,直線與圓相切.
由知,的面積為
,
上式中,當(dāng)且僅當(dāng)等號成立,
所以面積的最小值為1.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)圖象上不同兩點,,,處的切線的斜率分別是,,規(guī)定叫曲線在點與點之間的“彎曲度”,給出以下命題:
(1)函數(shù)圖象上兩點、的橫坐標(biāo)分別為1,2,則;
(2)存在這樣的函數(shù),圖象上任意兩點之間的“彎曲度”為常數(shù);
(3)設(shè)點、是拋物線,上不同的兩點,則;
(4)設(shè)曲線上不同兩點,,,,且,若恒成立,則實數(shù)的取值范圍是;
以上正確命題的序號為__(寫出所有正確的)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為了解校園安全教育系列活動的成效,對全校學(xué)生進(jìn)行了一次安全意識測試,根據(jù)測試成績評定“合格”“不合格”兩個等級,同時對相應(yīng)等級進(jìn)行量化:“合格”記5分,“不合格”記0分.現(xiàn)隨機抽取部分學(xué)生的答卷,統(tǒng)計結(jié)果及對應(yīng)的頻率分布直方圖如下:
等級 | 不合格 | 合格 | ||
得分 | ||||
頻數(shù) | 6 | 24 |
(1)由該題中頻率分布直方圖求測試成績的平均數(shù)和中位數(shù);
(2)其他條件不變,在評定等級為“合格”的學(xué)生中依次抽取2人進(jìn)行座談,每次抽取1人,求在第1次抽取的測試得分低于80分的前提下,第2次抽取的測試得分仍低于80分的概率;
(3)用分層抽樣的方法,從評定等級為“合格”和“不合格”的學(xué)生中抽取10人進(jìn)行座談.現(xiàn)再從這10人中任選4人,記所選4人的量化總分為,求的數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:函數(shù).
(1)求函數(shù)在點處的切線方程;
(2)求函數(shù)的上的最大值;
(3)當(dāng)時,試討論函數(shù)的零點個數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點為極點, 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的方程為,定點,點是曲線上的動點, 為的中點.
(1)求點的軌跡的直角坐標(biāo)方程;
(2)已知直線與軸的交點為,與曲線的交點為,若的中點為,求的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在“五四青年節(jié)”到來之際,啟東中學(xué)將開展一系列的讀書教育活動.為了解高二學(xué)生讀書教育情況,決定采用分層抽樣的方法從高二年級四個社團中隨機抽取12名學(xué)生參加問卷調(diào)査.已知各社團人數(shù)統(tǒng)計如下:
(1)若從參加問卷調(diào)查的12名學(xué)生中隨機抽取2名,求這2名學(xué)生來自同一個社團的概率;
(2)在參加問卷調(diào)查的12名學(xué)生中,從來自三個社團的學(xué)生中隨機抽取3名,用表示從社團抽得學(xué)生的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為24,16,16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人,進(jìn)行睡眠時間的調(diào)查.
(I)應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人?
(II)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,現(xiàn)從這7人中隨機抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查.
(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù),求隨機變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望;
(ii)設(shè)A為事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的員工,也有睡眠不足的員工”,求事件A發(fā)生的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;
(2)若函數(shù)有兩個極值點,,且,求證:.(注:為自然對數(shù)的底數(shù))
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