Question

已知(

3	x

-

1

x

)n的展開式中第2項的二項式系數(shù)與第3項的二項式系數(shù)之比為1：7．
（1）求n的值；
（2）求展開式中常數(shù)項為第幾項；
（3）求有理項共有多少項．

Answer 1

分析：（1）第k+1項的二項式系數(shù)為C_n^k，由題意可得關(guān)于n的方程，求出n．
（2）利用二項展開式的通項公式求得第r+1項，令x的指數(shù)為0得展開式的常數(shù)項．
（3）利用二項展開式的通項公式求出展開式的通項，令x的指數(shù)為有理數(shù)，求出r的值，求出有理項的項數(shù)．

解答：解：（1）Tr+1=

C

r n

(

3	x

)n-r(-

1

x

)r=

C

r n

(-1)rx

2n-5r

6

（2分）
∵第2項的二項式系數(shù)與第3項的二項式系數(shù)之比為1：7．
∴

C 1 n

C 2 n

=

1

7

，解得n=15（5分）
（2）由（1）得Tr+1=

C

r 15

(-1)rx

30-5r

6

令

30-5r

6

=0則r=6
∴所以常數(shù)項為第7項（7分）
（3）由條件得

30-5r

6

∈N且0≤r≤15，得r=0，6，12
∴有理項的共有3項（10分）

點評：本題考查二項展開式中二項式系數(shù)和與系數(shù)和問題，考查利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項問題，難度較大，易出錯．要正確區(qū)分這兩個概念：二項式系數(shù)與系數(shù)．