精英家教網(wǎng)如圖所示，已知點(diǎn)G是△ABC的重心，過G作直線與AB、AC兩邊分別交于M、N兩點(diǎn)，且
AM
=x
AB
，
AN
=y
AC
，則
xy
x+y
的值為
 
．
分析：由G為三角形的重心得到
AG
=
1
3
(
AB
+
AB
)，再結(jié)合
AM
=x
AB
，
AN
=y
AC
，根據(jù)M，G，N三點(diǎn)共線，易得到x，y的關(guān)系式，即可得到結(jié)論．
解答：解：根據(jù)題意G為三角形的重心，
∴
AG
=
1
3
(
AB
+
AB
)，
MG
=
AG
-
AM
=
1
3
(
AB
+
AC
)-x
AB
=(
1
3
-x)
AB
+
1
3
AC
，
GN
=
AN
-
AG
=y
AC
-
AG
=y
AC
-
1
3
(
AB
+
AC
)=(y-
1
3
)
AC
-
1
3
AB
，
由于
MG
與
GN
共線，根據(jù)共線向量基本定理知，存在實(shí)數(shù)λ，使得
MG
=λ
GN
，
即(
1
3
-x)
AB
+
1
3
AC
=λ[(y-
1
3
)
AC
-
1
3
AB
]，
∴
1
3
-x=-
1
3
λ
1
3
=λ(y-
1
3
)
，
消去λ得x+y-3xy=0，
∴x+y=3xy，
即
xy
x+y
=
1
3
．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角形重心的性質(zhì)，以及向量的基本定理和向量在幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，已知圓M：（x+1）2+y2=8及定點(diǎn)N（1，0），點(diǎn)P是圓M上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為PN的中點(diǎn)，PM上一點(diǎn)G滿足
GQ
•
NP
=0
（1）求點(diǎn)G的軌跡C的方程；
（2）已知直線l：y=kx+m與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，E（0，1），是否存在直線l，使得點(diǎn)N恰為△ABE的垂心？若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，已知ABCD-A1B1C1D1是棱長為3的正方體，點(diǎn)E在AA1上，點(diǎn)F在CC1上，G在BB1上，且AE=FC1=B1G=1，H是B1C1的中點(diǎn)．
（1）求證：E、B、F、D1四點(diǎn)共面
（2）求證：平面A1GH∥平面BED1F．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，已知點(diǎn)G是△ABO的重心．
（1）求
GA
+
GB
+
GO
；
（2）若PQ過△ABO的重心G，且
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OP
=m
a
，
OQ
=n
b
，求證：
1
m
+
1
n
=3．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年上海市徐匯區(qū)高三上學(xué)期期末考試（一模）理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：填空題

如圖所示，已知點(diǎn)G是△ABC的重心，過G作直線與AB、AC兩邊分別交于M、N兩點(diǎn)，且，則的值為          .

 

 

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