已知橢圓：的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切．

(1)求橢圓C的方程；

(2)設，、是橢圓上關于軸對稱的任意兩個不同的點，連結交橢圓于另一點，求直線的斜率的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，證明直線與軸相交于定點．

 

【答案】

⑴⑵或．⑶利用韋達定理及坐標運算即可證明

【解析】

試題分析：⑴由題意知，所以，即，又因為，所以，故橢圓的方程為：．   4分

⑵由題意知直線的斜率存在，設直線的方程為 ①

聯(lián)立消去得：，       6分

由得，        7分

又不合題意，

所以直線的斜率的取值范圍是或．      9分

⑶設點，則，直線的方程為

令，得，將代入整理，得．    ②           12分

由得①代入②整理，得，

所以直線與軸相交于定點．        14分

考點：本題考查了橢圓及直線與橢圓的位置關系

點評：橢圓的概念和性質，仍將是今后命題的熱點，定值、最值、范圍問題將有所加強；利用直線、弦長、圓錐曲線三者的關系組成的各類試題是解析幾何中長盛不衰的主題，其中求解與相交弦有關的綜合題仍是今后命題的重點；與其它知識的交匯(如向量、不等式)命題將是今后高考命題的一個新的重點、熱點.

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網已知橢圓E的離心率為e，兩焦點為F1，F(xiàn)2，拋物線C以F1為頂點，F(xiàn)2為焦點，P為兩曲線的一個公共點，若
|PF1|
|PF2|
=e，則e的值為（　�。�
A、
3
3
B、
3
2
C、
2
2
D、
6
3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點為F，右頂點為A，動點M為右準線上一點（異于右準線與x軸的交點），設線段FM交橢圓C于點P，已知橢圓C的離心率為
2
3
，點M的橫坐標為
9
2
．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設直線PA的斜率為k1，直線MA的斜率為k2，求k1•k2的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓E的離心率為e，兩焦點為F1、F2，拋物線C以F1為頂點，F(xiàn)2為焦點，P為兩曲線的一個交點，若
|PF1|
|PF2|
=e，則e的值為
3
3
3
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C的離心率為e=
6
3
，一條準線方程為x=
3
2
2
．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設動點P滿足：
OP
=
OM
+
ON
，其中M，N是橢圓上的點，直線OM與ON的斜率之積為-
1
3
，問：是否存在兩個定點A，B，使得|PA|+|PB|為定值？若存在，求A，B的坐標；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（A題） （奧賽班做）已知橢圓E的離心率為e，左右焦點分別為F1、F2，拋物線C以F1頂點，F(xiàn)2為焦點，P為兩曲線的一個交點，
|PF1|
|PF2|
=e，則e的值為
3
3
3
3
．

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