Question

已知函數(shù)

(1)當(dāng)時，求函數(shù)的極小值；

(2)當(dāng)時，過坐標(biāo)原點作曲線的切線，設(shè)切點為，求實數(shù)的值；

(3)設(shè)定義在上的函數(shù)在點處的切線方程為當(dāng)時，若在內(nèi)恒成立，則稱為函數(shù)的“轉(zhuǎn)點”．當(dāng)時，試問函數(shù)是否存在“轉(zhuǎn)點”.若存在,請求出“轉(zhuǎn)點”的橫坐標(biāo),若不存在,請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

(1) ；(2) ；(3)參考解析

【解析】

試題分析：(1)因為函數(shù)當(dāng)時，求函數(shù)的極小值，即對函數(shù)求導(dǎo)通過求出極值點，即可求出極小值.

(2) 過曲線外一點作曲線的切線，是通過求導(dǎo)得到切線的斜率等于切點與這點斜率.建立一個等式，從而確定切點橫坐標(biāo)的大小，由于該方程不能直接求解，所以通過估算一個值，在證明該函數(shù)的單調(diào)性，即可得到切點的橫坐標(biāo).

(3)因為根據(jù)定義在上的函數(shù)在點處的切線方程為當(dāng)時，若在內(nèi)恒成立，則稱為函數(shù)的“轉(zhuǎn)點”．該定義等價于切線穿過曲線，在的兩邊的圖像分別在的上方和下方恒成立.當(dāng)時，通過討論函數(shù)的單調(diào)性即最值即可得結(jié)論.

試題解析：(1)當(dāng)時，，

當(dāng)時，；當(dāng)時；當(dāng)時.

所以當(dāng)時，取到極小值.

(2) ，所以切線的斜率

整理得,顯然是這個方程的解，

又因為在上是增函數(shù)，

所以方程有唯一實數(shù)解，故.

(3)當(dāng)時，函數(shù)在其圖象上一點處的切線方程為

，

設(shè)，則，

若，在上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時，此時；

所以在上不存在“轉(zhuǎn)點”.

若時,在上單調(diào)遞減,所以當(dāng)時, ，此時，

所以在上不存在“轉(zhuǎn)點”.

若時，即在上是增函數(shù)，

當(dāng)時，，

當(dāng)時，， 即點為“轉(zhuǎn)點”，

故函數(shù)存在“轉(zhuǎn)點”，且是“轉(zhuǎn)點”的橫坐標(biāo).

考點：1.函數(shù)極值.2.函數(shù)的切線問題.3.新定義的問題.4.數(shù)形結(jié)合的思想.5.運算能力.