Question

【題目】已知關(guān)于x的函數(shù)y= （t∈R）的定義域為D，存在區(qū)間[a，b]D，f（x）的值域也是[a，b]．當(dāng)t變化時，b﹣a的最大值= ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：關(guān)于x的函數(shù)y=f（x）= =（1﹣t）﹣ 的定義域為（﹣∞，0）∪（0，+∞），
且函數(shù)在（﹣∞，0）、（0，+∞）上都是增函數(shù)．
故有a=f（a），且b=f（b），即 a= ，b= ．
即 a2+（t﹣1）a+t2=0，且 b2+（t﹣1）b+t2=0，
故a、b是方程x2+（t﹣1）x+t2=0的兩個同號的實數(shù)根．
由判別式大于0，容易求得t∈（﹣1， ）．
而當(dāng)t=0時，函數(shù)為y=1，不滿足條件，故t∈（﹣1， ）且t≠0．
由韋達(dá)定理可得b﹣a= = ，故當(dāng)t=﹣ 時，b﹣a取得最大值為 ，
故答案為： ．
由函數(shù)的單調(diào)性可得a=f（a），且b=f（b），故a、b是方程x2+（t﹣1）x+t2=0的兩個同號的實數(shù)根．由判別式大于0，容易求得t∈（﹣1， ）．由韋達(dá)定理可得b﹣a= = ，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得b﹣a的最大值．