(1)解不等式:|x-1|+|x+1|≤4;
(2)已知a,b,c∈R+,且abc=1,求證:
1
a2
+
1
b2
+
1
c2
≥a+b+c
分析:(1)分x<-1、-1≤x≤1、x>1三種情況,分別去掉絕對值,求出不等式的解集,再把解集取并集,即得所求.
(2)根據(jù)abc=1,利用基本不等式可得
1
a2
+
1
b2
≥2
1
ab
=2c
,同理可得
1
b2
+
1
c2
≥2•
1
bc
=2a
,
1
c2
+
1
a2
≥2•
1
ca
=2b
.把這幾個不等式相加,再兩邊同時除以2,即得所證.
解答:(1)解:當(dāng)x<-1時,原不等式化為:x≥-2,∴-2≤x<-1.
當(dāng)-1≤x≤1時,原不等式化為2≤4,恒成立,∴-1≤x≤1.
當(dāng)x>1時,原不等式化為:x≤2,∴1<x≤2.
綜上,不等式解集為[-2,2].
(2)證明:∵abc=1,∴
1
a2
+
1
b2
≥2
1
ab
=2c

同理可得
1
b2
+
1
c2
≥2•
1
bc
=2a
,
1
c2
+
1
a2
≥2•
1
ca
=2b

2(
1
a2
+
1
b2
+
1
c2
)≥2(a+b+c)
,
1
a2
+
1
b2
+
1
c2
≥a+b+c
點(diǎn)評:本題主要考查絕對值不等式的解法,用綜合法、基本不等式證明不等式,體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.
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已知f(x)是定義在[-1,1]上的奇函數(shù),且f(1)=1,若m,n∈[-1,1],m+n≠0時,有
f(m)+f(n)
m+n
>0

(1)解不等式f(x+
1
2
)<f(1-x)
;
(2)若f(x)≤t2-2at+1對所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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設(shè)函數(shù)f(x)=
4x-1
4x+1
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1
3
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x
y
)=f(x)-f(y)
.當(dāng)x>1時,有f(x)>0.
(1)求f(1)的值;
(2)若f(6)=1,解不等式 f(x+3)-f(
1
x
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x
y
)=f(x)-f(y)

(1)求f(1)的值;
(2)若f(6)=1,解不等式f(x+3)+f(
1
x
)≤2

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