Question

已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，一個(gè)長(zhǎng)軸端點(diǎn)為（0，2），短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形，直線(xiàn)l與y軸交于點(diǎn)P（0，m），與橢圓C交于相異兩點(diǎn)A、B，且

AP

=2

PB

．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意知，則焦點(diǎn)在Y軸上，且a=2，b=c，又由a²=b²+c²，聯(lián)立即可求得橢圓的方程；
（2）由于直線(xiàn)與橢圓相交且有兩個(gè)互異的交點(diǎn)，故直線(xiàn)斜率存在．聯(lián)立直線(xiàn)方程與曲線(xiàn)方程，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系，得到與斜率有關(guān)的含參數(shù)m等價(jià)關(guān)系，求出m即可．

解答：解：（Ⅰ）由題意知橢圓的焦點(diǎn)在Y軸上，設(shè)橢圓方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)，
由題意知a=2，b=c，又a²=b²+c²，則b=

2

，
所以橢圓方程為

y2

4

+

x2

2

=1--------------------------------------（4分）
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意，直線(xiàn)l的斜率存在，
設(shè)其方程為y=kx+m，與橢圓方程聯(lián)立
即

y2+2x2=4 y=kx+m

，
則（2+k²）x²+2mkx+m²-4=0，△=（2mk）²-4（2+k²）（m²-4）＞0
由韋達(dá)定理知

x1+x2=- 2mk 2+k2 x1•x2= m2-4 2+k2

；--------------------------（6分）
又

AP

=2

PB

，即有（-x₁，m-y₁）=2（x₂，y₂-m），
∴-x₁=2x₂，
∴

x1+x2=-x2 x1•x2=-2x22

，
∴

m2-4

2+k2

=-2(

2mk

2+k2

)2--------------------------------------------（8分）
整理得（9m²-4）k²=8-2m²
又9m²-4=0時(shí)不成立，所以k2=

8-2m2

9m2-4

＞0--------------------（10分）
得

4

9

＜m2＜4，此時(shí)△＞0
所以m的取值范圍為（-2，-

2

3

）∪(

2

3

，2)．----------------------------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，直線(xiàn)與曲線(xiàn)聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系，這是處理這類(lèi)問(wèn)題的最為常用的方法，但圓錐曲線(xiàn)的特點(diǎn)是計(jì)算量比較大，要求考試具備較強(qiáng)的運(yùn)算推理的能力，關(guān)鍵是看清題中給出的條件，靈活運(yùn)用韋達(dá)定理進(jìn)行求解．解決此類(lèi)問(wèn)題的必須熟悉曲線(xiàn)的定義和曲線(xiàn)的圖形特征，這也是高考�？嫉闹�識(shí)點(diǎn)．