【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,滿足f(1)=﹣ , 且3a>2c>2b.
(1)求證:a>0時(shí),的取值范圍;
(2)證明函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn);
(3)設(shè)x1 , x2是函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn),求|x1﹣x2|的取值范圍.
【答案】
解:(1)∵f(1)=a+b+c=﹣,
∴3a+2b+2c=0.
又3a>2c>2b,
故3a>0,2b<0,
從而a>0,b<0,
又2c=﹣3a﹣2b及3a>2c>2b知3a>﹣3a﹣2b>2b
∵a>0,∴3>﹣3﹣>2,
即﹣3<<﹣.
(2)根據(jù)題意有f(0)=0,f(2)=4a+2b+c=(3a+2b+2c)+a﹣c=a﹣c.
下面對(duì)c的正負(fù)情況進(jìn)行討論:
①當(dāng)c>0時(shí),∵a>0,
∴f(0)=c>0,f(1)=﹣<0
所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn);
②當(dāng)c≤0時(shí),∵a>0,
∴f(1)=﹣<0,f(2)=a﹣c>0
所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn);
綜合①②得函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn);
(3).∵x1 , x2是函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)
∴x1 , x2是方程ax2+bx+c=0的兩根.
故x1+x2=﹣,x1x2===-
從而|x1﹣x2|===.
∵﹣3<<﹣
∴|x1﹣x2|.
【解析】(1)根據(jù)f(1)=0,可得a,b,c的關(guān)系,再根據(jù)3a>2c>2b,將其中的c代換成a與b表示,即可求得的取值范圍;
(2)求出f(2)的值,再根據(jù)已知條件,分別對(duì)c的正負(fù)情況進(jìn)行討論即可;
(3)根據(jù)韋達(dá)定理,將|x1﹣x2|轉(zhuǎn)化成用兩個(gè)根表示,然后轉(zhuǎn)化成用表示,運(yùn)用(1)的結(jié)論,即可求得|x1﹣x2|的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)的性質(zhì),需要了解當(dāng)時(shí),拋物線開口向上,函數(shù)在上遞減,在上遞增;當(dāng)時(shí),拋物線開口向下,函數(shù)在上遞增,在上遞減才能得出正確答案.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知為拋物線的焦點(diǎn),過(guò)的直線與交于兩點(diǎn), 為中點(diǎn),點(diǎn)到軸的距離為, .
(1)求的值;
(2)過(guò)分別作的兩條切線, .請(qǐng)選擇軸中的一條,比較到該軸的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示, 矩形所在的平面, 分別是的中點(diǎn).
(1)求證: 平面;
(2)求證: .
(3)當(dāng)滿足什么條件時(shí),能使平面成立?并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知集合A={x|a﹣1<x<2a+1},B={x|0<x<1}
(1)若a= , 求A∩B.
(2)若A∩B=,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=log2(m+)(m∈R,且m>0).
(1)求函數(shù)f(x)的定義域;
(2)若函數(shù)f(x)在(4,+∞)上單調(diào)遞增,求m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,D為BC邊上一點(diǎn),BC=3BD,AD= , ∠ADB=135°.若AC=AB,則BD=
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】近年來(lái)隨著我國(guó)在教育科研上的投入不斷加大,科學(xué)技術(shù)得到迅猛發(fā)展,國(guó)內(nèi)企業(yè)的國(guó)際競(jìng)爭(zhēng)力得到大幅提升.伴隨著國(guó)內(nèi)市場(chǎng)增速放緩,國(guó)內(nèi)有實(shí)力企業(yè)紛紛進(jìn)行海外布局,第二輪企業(yè)出海潮到來(lái).如在智能手機(jī)行業(yè),國(guó)產(chǎn)品牌已在趕超國(guó)外巨頭,某品牌手機(jī)公司一直默默拓展海外市場(chǎng),在海外共設(shè)多個(gè)分支機(jī)構(gòu),需要國(guó)內(nèi)公司外派大量后、后中青年員工.該企業(yè)為了解這兩個(gè)年齡層員工是否愿意被外派工作的態(tài)度,按分層抽樣的方式從后和后的員工中隨機(jī)調(diào)查了位,得到數(shù)據(jù)如下表:
愿意被外派 | 不愿意被外派 | 合計(jì) | |
后 | |||
后 | |||
合計(jì) |
(Ⅰ)根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù),是否有以上的把握認(rèn)為“是否愿意被外派與年齡有關(guān)”,并說(shuō)明理由;
(Ⅱ)該公司舉行參觀駐海外分支機(jī)構(gòu)的交流體驗(yàn)活動(dòng),擬安排名參與調(diào)查的后、后員工參加.后員工中有愿意被外派的人和不愿意被外派的人報(bào)名參加,從中隨機(jī)選出人,記選到愿意被外派的人數(shù)為;后員工中有愿意被外派的人和不愿意被外派的人報(bào)名參加,從中隨機(jī)選出人,記選到愿意被外派的人數(shù)為,求的概率.
參考數(shù)據(jù):
(參考公式:,其中).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知x∈R,符號(hào)[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù),若函數(shù)f(x)=(x>0),則給出以下四個(gè)結(jié)論:
①函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇0,1];
②函數(shù)f(x)的圖象是一條曲線;
③函數(shù)f(x)是(0,+∞)上的減函數(shù);
④函數(shù)g(x)=f(x)﹣a有且僅有3個(gè)零點(diǎn)時(shí) .
其中正確的序號(hào)為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】用min{a,b,c}表示a,b,c三個(gè)數(shù)中的最小值,設(shè)f(x)=min{2x , x+2,10﹣x}(x≥0),則f(x)的最大值為( )
A.4
B.5
C.6
D.7
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