【題目】如圖,四棱錐PABCD中,側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,ABBCAD,∠BAD=∠ABC=90°.

(1)證明:直線(xiàn)BC∥平面PAD;

(2)若△PCD的面積為2,求四棱錐PABCD的體積.

【答案】(1) 見(jiàn)解析(2)

【解析】試題分析:(1)第(1)問(wèn),轉(zhuǎn)化成線(xiàn)線(xiàn)垂直,轉(zhuǎn)化成證明BC∥AD. (2)第(2)問(wèn),先轉(zhuǎn)化△PCD的面積為2得到BC的長(zhǎng)度,再利用體積公式求解.

試題解析:(1)證明:在底面ABCD中,因?yàn)椤?/span>BAD=∠ABC=90°,所以BCAD,

BC平面PAD,AD平面PAD,∴直線(xiàn)BC∥平面PAD.

(2)解:取AD的中點(diǎn)M,連接PMCM,由ABBCADBCAD,∠ABC=90°得四邊形ABCM為正方形,則CMAD.

因?yàn)閭?cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD∩平面ABCDAD,所以PMAD,PM⊥底面ABCD.

因?yàn)镃M底面ABCD,所以PM⊥CM.

設(shè)BC=x,則CM=x,CD=x,PM=x,PC=PD=2x.

取CD的中點(diǎn)N,連接PN.

則PN⊥CD,所以PN=x.

因?yàn)椤鱌CD的面積為2,所以

解得x=-2(舍去)或x=2.

于是AB=BC=2,AD=4,PM=2.

所以四棱錐PABCD的體積V.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A. 320千元 B. 360千元 C. 400千元 D. 440千元

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