Question

已知集合U={1，2，…，n}，n∈N^*．設(shè)集合A同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：
①A⊆U；
②若x∈A，則2x∉A；
③若x∈C_UA，則2x∉C_UA．
（1）當(dāng)n=4時(shí)，一個(gè)滿足條件的集合A是

{2}，或{1，4}，或{2，3}，或{1，3，4}

；（寫出一個(gè)即可）
（2）當(dāng)n=7時(shí)，滿足條件的集合A的個(gè)數(shù)為

16

．

Answer 1

分析：（1）n=4時(shí)，集合U={1，2，3，4}，1，4必須同屬于A，此時(shí)2屬于A的補(bǔ)集；或1，4必須同屬于A的補(bǔ)集，此時(shí)2屬于A；而對(duì)元素3與集合A的關(guān)系沒(méi)有限制，此時(shí)滿足條件的集合有2²=4個(gè)，列舉可得答案．
（2）n=7時(shí)，集合U={1，2，3，4，5，6，7}，1，4必須同屬于A，此時(shí)2屬于A的補(bǔ)集；或1，4必須同屬于A的補(bǔ)集，此時(shí)2屬于A；3屬于A時(shí)，6屬于A的補(bǔ)集；3屬于A的補(bǔ)集時(shí)，6屬于A；而元素5，7沒(méi)有限制．此時(shí)滿足條件的集合有2⁴=16個(gè)．

解答：解：（1）n=4時(shí)，集合U={1，2，3，4}，
由①A⊆U；②若x∈A，則2x∉A；③若x∈C_UA，則2x∉C_UA．
當(dāng)1∈A，則2∉A，即2∈C_UA，則4∉C_UA，即4∈A，但元素3與集合A的關(guān)系不確定
故A={1，4}，或A={1，3，4}
當(dāng)2∈A，則4∉A，1∉A，但元素3與集合A的關(guān)系不確定
故A={2}，或A={2，3}
（2）n=7時(shí)，集合U={1，2，3，4，5，6，7}，
由①A⊆U；②若x∈A，則2x∉A；③若x∈C_UA，則2x∉C_UA．
1，4必須同屬于A，此時(shí)2屬于A的補(bǔ)集；或1，4必須同屬于A的補(bǔ)集，此時(shí)2屬于A；
3屬于A時(shí)，6屬于A的補(bǔ)集；3屬于A的補(bǔ)集時(shí)，6屬于A；
而元素5，7沒(méi)有限制
故滿足條件的集合A共有：2⁴=16個(gè)
故答案為：{2}，或{1，4}，或{2，3}，或{1，3，4}；16．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是元素與集合關(guān)系，其中根據(jù)集合A滿足的三個(gè)條件，分析U中各個(gè)元素與集合A的關(guān)系是解答的關(guān)鍵．