Question

已知平面上的動(dòng)點(diǎn)P（x，y）及兩定點(diǎn)A（-2，0），B（2，0），直線PA，PB的斜率分別是k₁，k₂，且k₁•k₂=-

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4

．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）已知直線l：y=kx+m與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，且直線BM、BN的斜率都存在，并滿足k_BM•k_BN=-

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4

，求證：直線l過(guò)原點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線PA，PB的斜率分別是k₁，k₂，且k₁•k₂=-

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，建立方程，化簡(jiǎn)即可得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及k_BM•k_BN=-

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4

，求出m的值，即可得到結(jié)論．

解答：（1）解：由題意得

y

x+2

•

y

x-2

=-

1

4

（x≠±2），即x²+4y²-4=0．
所以點(diǎn)P的軌跡C的方程為

x2

4

+y²=1（x≠±2）．
（2）證明：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
聯(lián)立方程

y=kx+m x2 4 +y2=1

，得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0．
所以x₁+x₂=

-8km

4k2+1

，x₁x₂=

4m2-4

4k2+1

．
所以y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=

m2-4k2

4k2+1

．
又k_BM•k_BN=-

1

4

，即

y1

x1-2

•

y2

x2-2

=-

1

4

，
即x₁x₂-2（x₁+x₂）+4+4y₁y₂=0．
代入并整理得m（m+2k）=0，即m=0或m=-2k，
當(dāng)m=0時(shí)，直線l恒過(guò)原點(diǎn)；
當(dāng)m=-2k時(shí)，直線l恒過(guò)點(diǎn)（2，0），但不符合題意．
所以直線l恒過(guò)原點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．