Question

設(shè)，橢圓方程為，拋物線方程為．如圖所示，過點(diǎn)作軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為，已知拋物線在點(diǎn)的切線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)．

（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；

（2）設(shè)分別是橢圓長軸的左、右端點(diǎn)，試探究在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得為直角三角形？若存在，請(qǐng)指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)？并說明理由（不必具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)）．

Answer 1

（1）橢圓和拋物線的方程分別為和；

（2）拋物線上存在四個(gè)點(diǎn)使得為直角三角形

解析:

（1）由得，

當(dāng)得，G點(diǎn)的坐標(biāo)為，

， ，

過點(diǎn)G的切線方程為即，

令得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

由橢圓方程得點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，

即橢圓和拋物線的方程分別為和；

（2）過作軸的垂線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn),

以為直角的只有一個(gè)，同理以為直角的只有一個(gè)。

若以為直角，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，

、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和，

。

關(guān)于的二次方程有一大于零的解，有兩解，即以為直角的有兩個(gè)，

因此拋物線上存在四個(gè)點(diǎn)使得為直角三角形。