Question

設(shè)：P：指數(shù)函數(shù)y=a^x在R內(nèi)單調(diào)遞減； Q：曲線y=x²+（2a-3）x+1與x軸交于不同的兩點(diǎn)．如果P∨Q為真，￢Q也為真，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：當(dāng)0＜a＜1時，指數(shù)函數(shù)y=a^x在R內(nèi)單調(diào)遞減，曲線y=x²+（2a-3）x+1與x軸有兩個不同的交點(diǎn)等價于（2a-3）²-4＞0，由此利用復(fù)合命題的關(guān)系能求出a的取值范圍．

解答：解：∵當(dāng)0＜a＜1時，指數(shù)函數(shù)y=a^x在R內(nèi)單調(diào)遞減，
當(dāng)a＞1時，指數(shù)函數(shù)y=a^x在R內(nèi)單調(diào)遞增，
∴當(dāng)命題P是真命題時，0＜a＜1；
當(dāng)命題P是假命題時，a＞1．
∵曲線y=x²+（2a-3）x+1與x軸有兩個不同的交點(diǎn)等價于（2a-3）²-4＞0，
解得a＜

1

2

或a＞

5

2

．
∴當(dāng)命題Q是真命題時，則a＜

1

2

或a＞

5

2

；
當(dāng)命題Q是假命題時，

1

2

≤a≤

5

2

．
∵P∨Q為真，￢Q也為真，
∴命題P是真命題，即0＜a＜1；
命題Q是假命題，即

1

2

≤a≤

5

2

，
因此，a∈（0，1）∩[

1

2

，

5

2

]=[

1

2

，1），
即a∈[

1

2

，1)，
故a的取值范圍是[

1

2

，1）．

點(diǎn)評：本題考查復(fù)合命題的真假判斷，解題時要認(rèn)真審題，注意指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．