Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經過點A（1，

2

2

），且離心率為

2

2

，過點B（2，0）的直線l與橢圓交于不同的兩點M、N．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求

.

BM

•

.

BN

的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 由橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經過點A（1，

2

2

），且離心率為

2

2

，可得

e= c a = 2 2 1 a2 + 1 2b2 =1 a2=b2+c2

，解得即可．
（II）由題意可知直線l的斜率存在，設其方程為y=k（x-2）．與橢圓方程聯立得到△＞0即根與系數的關系，再利用數量積即可得出．

解答：解：（Ⅰ） 由橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經過點A（1，

2

2

），且離心率為

2

2

，
可得

e= c a = 2 2 1 a2 + 1 2b2 =1 a2=b2+c2

，解得

a2=2 b=c=1

．
∴橢圓的方程為

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）由題意可知直線l的斜率存在，設其方程為y=k（x-2）．
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．由

y=k(x-2) x2 2 +y2=1

得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0．
△=64k⁴-4（1+2k²）（8k²-2）＞0，得0≤k2＜

1

2

．
∴x1+x2=

8k2

1+2k2

，x1x2=

8k2-2

1+2k2

．
∵

BM

=(x1-2，y1)，

BN

=(x2-2，y2)，
∴

BM

•

BN

=（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=（1+k²）（x₁-2）（x₂-2）=（1+k²）[x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]=(1+k2)

2

1+2k2

=1+

1

1+2k2

，
∵0≤k2＜

1

2

，∴

3

2

＜1+

1

2k2

≤2，
∴

.

BM

•

.

BN

的取值范圍是(

3

2

，2]．

點評：題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到判別式△＞0即根與系數的關系、數量積運算等基礎知識與基本技能，屬于難題．