Question

【題目】點(diǎn) M是拋物線C：y2=2px（p＞0）上一點(diǎn)，F是拋物線焦點(diǎn)， =60°，|FM|=4．

（1）求拋物線C方程；

（2）D（﹣1，0），過F的直線l交拋物線C與A、B兩點(diǎn)，以F為圓心的圓F與直線AD相切，試判斷并證明圓F與直線BD的位置關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）y2=4x（2）圓F與直線BD相切

【解析】試題分析：（1）作 垂直于準(zhǔn)線與 ，利用拋物線的定義證明為等邊三角形，即可求拋物線的方程；（2）分類斜率存在與不存在兩種情況討論，設(shè)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理、點(diǎn)到直線距離公式證明到直線的距離等于圓的半徑，即可得出結(jié)論.

試題解析：（I）拋物線C：y2=2px（p＞0）的準(zhǔn)線方程為l′：x=﹣，過M作MN⊥l′于點(diǎn)N，連接NF，則|MN|=|FM|，

∵∠NMF=∠MFx=60°，∴△MNF為等邊三角形，

∴|NF|=4，∴p=2，

∴拋物線C的方程為y2=4x；

（II）直線l的斜率不存在時(shí)，△ABD為等腰三角形，且|AD|=|BD|．

∴圓F與直線BD相切；

直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y=k（x﹣1），代入拋物線方程，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1x2=1，∴x1=，

直線AD的方程為y=（x+1），即y1x﹣（x1+1）y+y1=0，

∴R2=，

直線BD的方程為y2x﹣（x2+1）y+y2=0，

F到直線BD的距離d，d2==，

∴R2=d2，

∴R=d，

∴圓F與直線BD相切，

綜上所述，圓F與直線BD相切．