【題目】已知函數(shù)

1)討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù);

2)若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn),證明:

【答案】1時(shí),函數(shù)無(wú)零點(diǎn).時(shí),函數(shù)1個(gè)零點(diǎn). 時(shí),函數(shù)2個(gè)零點(diǎn). 2)證明見(jiàn)解析.

【解析】

1)求出導(dǎo)數(shù),得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,根據(jù)的符號(hào),函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

2)由(1)知兩個(gè)零點(diǎn),,,零點(diǎn)間關(guān)系是,變形為,引入變量,則,,要證的不等式等價(jià)變形為,,即證,(),為此引入新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性為減函數(shù),則可證得結(jié)論成立,這里需要多次求導(dǎo)變形再求導(dǎo)才可證明.

(1)有題意得

,,

所以上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.

時(shí),取得極大值,也是最大值為,

所以當(dāng),即時(shí),函數(shù)無(wú)零點(diǎn).

當(dāng),即時(shí),函數(shù)1個(gè)零點(diǎn).

當(dāng),即時(shí),

,設(shè),

恒成立,

單調(diào)遞減,,

所以,,各有一個(gè)零點(diǎn),

函數(shù)2個(gè)零點(diǎn).

綜上所述:時(shí),函數(shù)無(wú)零點(diǎn).

時(shí),函數(shù)1個(gè)零點(diǎn).

時(shí),函數(shù)2個(gè)零點(diǎn).

2)由(1,即時(shí),

有兩個(gè)零點(diǎn),(),則,,

,得,

,則,,

,顯然成立,

要證,即證,

只要證,即證,(),

,

,

,則,,令,

,,

,

,時(shí),是減函數(shù),

所以時(shí),,

所以是減函數(shù),,即),

所以是減函數(shù),

所以,時(shí)是減函數(shù),

,即,

所以上是減函數(shù),,

所以,即,

綜上,成立.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知為坐標(biāo)原點(diǎn),為坐標(biāo)平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn),且成等差數(shù)列.

1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程;

2)設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn),過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)交兩點(diǎn)(不與原點(diǎn)重合),是否存在軸上一定點(diǎn),使得_________.若存在,求出定點(diǎn),若不存在,說(shuō)明理由.從“①作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),則三點(diǎn)共線(xiàn);②”這兩個(gè)條件中選一個(gè),補(bǔ)充在上面的問(wèn)題中并作答(注:如果選擇兩個(gè)條件分別作答,按第一個(gè)解答計(jì)分)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù)),.

1)求的極值;

2)當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象恒在直線(xiàn)的上方,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】近年來(lái),國(guó)家為了鼓勵(lì)高校畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè),出臺(tái)了許多優(yōu)惠政策,以創(chuàng)業(yè)帶動(dòng)就業(yè).某高校畢業(yè)生小張自主創(chuàng)業(yè)從事蘋(píng)果的種植,并開(kāi)設(shè)網(wǎng)店進(jìn)行銷(xiāo)售.為了做好蘋(píng)果的品控,小張從自己果園的蘋(píng)果樹(shù)上,隨機(jī)摘取150個(gè)蘋(píng)果測(cè)重(單位:克),其重量分布在區(qū)間內(nèi),根據(jù)統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)得到如圖1所示的頻率分布直方圖.

1)以上述樣本數(shù)據(jù)中頻率作為概率,現(xiàn)一顧客從該果園購(gòu)買(mǎi)了30個(gè)蘋(píng)果,求這30個(gè)蘋(píng)果中重量在內(nèi)的個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望;

2)小張的網(wǎng)店為了進(jìn)行蘋(píng)果的促銷(xiāo),推出了買(mǎi)蘋(píng)果,送福袋的活動(dòng),買(mǎi)家在線(xiàn)參加按圖行進(jìn)贏取福袋的游戲.該游戲的規(guī)則如下:買(mǎi)家點(diǎn)擊拋擲一枚特殊的骰子,每次拋擲的結(jié)果為12,且這兩種結(jié)果的概率相同;從出發(fā)格(第0格)開(kāi)始,每擲一次,按照拋擲的結(jié)果,按如圖2所示的路徑向前行進(jìn)一次,若擲出1點(diǎn),即從當(dāng)前位置向前行進(jìn)一格(從第格到第格,),若擲出2點(diǎn),即從當(dāng)前位置向前行進(jìn)兩格(從第格到第格,),行進(jìn)至第3l格(獲得福袋)或第32格(謝謝惠顧),游戲結(jié)束.設(shè)買(mǎi)家行進(jìn)至第格的概率為,

(。┣、,并寫(xiě)出用、表示的遞推式;

(ⅱ)求,并說(shuō)明該大學(xué)生網(wǎng)店推出的此款游戲活動(dòng),是更有利于賣(mài)家,還是更有利于買(mǎi)家.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在邊長(zhǎng)等于2正方形中,點(diǎn)Q中點(diǎn),點(diǎn)M,N分別在線(xiàn)段上移動(dòng)(M不與A,B重合,N不與C,D重合),且,沿著將四邊形折起,使得二面角為直二面角,則三棱錐體積的最大值為________;當(dāng)三棱錐體積最大時(shí),其外接球的表面積為________

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知橢圓的焦距和長(zhǎng)半軸長(zhǎng)都為2.過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作斜率為的直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn).

1)求橢圓的方程;

2)設(shè)點(diǎn)是橢圓的左頂點(diǎn),直線(xiàn)分別與直線(xiàn)相交于點(diǎn),.求證:以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列,是單調(diào)遞增的等比數(shù)列,且,,.

1)求的通項(xiàng)公式;

2)設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和,求;

3)若數(shù)列的前項(xiàng)積為,求.

4)數(shù)列滿(mǎn)足,,其中,,求.

5)解決數(shù)列問(wèn)題時(shí),經(jīng)常需要先研究陌生的通項(xiàng)公式,只有先把通項(xiàng)公式研究明白,然后盡可能轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)列問(wèn)題,由此使問(wèn)題得到解決.通過(guò)對(duì)上面(2)(3)(4)問(wèn)題的解決,你認(rèn)為研究陌生數(shù)列的通項(xiàng)問(wèn)題有哪些常用方法,要求介紹兩個(gè).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知四面體的所有頂點(diǎn)在球的表面上,平面,,,則球的表面積為_________.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于M,拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)為F,且.

(Ⅰ)求拋物線(xiàn)C的方程;

(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)Q是拋物線(xiàn)C上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)DEy軸上,圓內(nèi)切于三角形,求三角形的面積的最小值.

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