【題目】如圖,已知橢圓C: =1(a>b>0)的離心率為 ,以橢圓C的左頂點T為圓心作圓T:(x+2)2+y2=r2(r>0),設(shè)圓T與橢圓C交于點M與點N.
(1)求橢圓C的方程;
(2)求 的最小值,并求此時圓T的方程;
(3)設(shè)點P是橢圓C上異于M,N的任意一點,且直線MP,NP分別與x軸交于點R,S,O為坐標原點,求證:|OR||OS|為定值.

【答案】
(1)解:依題意,得a=2, ,

∴c= ,b= =1,

故橢圓C的方程為


(2)解:方法一:點M與點N關(guān)于x軸對稱,

設(shè)M(x1,y1),N(x1,﹣y1),不妨設(shè)y1>0.

由于點M在橢圓C上,所以 (*)

由已知T(﹣2,0),則 ,

=(x1+2)2

=

=

由于﹣2<x1<2,

故當 時, 取得最小值為

由(*)式, ,故 ,

又點M在圓T上,代入圓的方程得到

故圓T的方程為:

方法二:點M與點N關(guān)于x軸對稱,

故設(shè)M(2cosθ,sinθ),N(2cosθ,﹣sinθ),

不妨設(shè)sinθ>0,由已知T(﹣2,0),

=(2cosθ+2)2﹣sin2θ

=5cos2θ+8cosθ+3

=

故當 時, 取得最小值為 ,

此時 ,

又點M在圓T上,代入圓的方程得到

故圓T的方程為:


(3)解:方法一:設(shè)P(x0,y0),

則直線MP的方程為: ,

令y=0,得 ,

同理:

(**)

又點M與點P在橢圓上,

,

代入(**)式,

得:

所以|OR||OS|=|xR||xS|=|xRxS|=4為定值.

方法二:設(shè)M(2cosθ,sinθ),N(2cosθ,﹣sinθ),

不妨設(shè)sinθ>0,P(2cosα,sinα),其中sinα≠±sinθ.

則直線MP的方程為: ,

令y=0,得 ,

同理:

所以|OR||OS|=|xR||xS|=|xRxS|=4為定值


【解析】(1)依題意,得a=2, ,由此能求出橢圓C的方程.(2)法一:點M與點N關(guān)于x軸對稱,設(shè)M(x1 , y1),N(x1 , ﹣y1),設(shè)y1>0.由于點M在橢圓C上,故 .由T(﹣2,0),知 = ,由此能求出圓T的方程. 法二:點M與點N關(guān)于x軸對稱,故設(shè)M(2cosθ,sinθ),N(2cosθ,﹣sinθ),設(shè)sinθ>0,由T(﹣2,0),得 = ,由此能求出圓T的方程.(3)法一:設(shè)P(x0 , y0),則直線MP的方程為: ,令y=0,得 ,同理: ,故 ,由此能夠證明|OR||OS|=|xR||xS|=|xRxS|=4為定值.
法二:設(shè)M(2cosθ,sinθ),N(2cosθ,﹣sinθ),設(shè)sinθ>0,P(2cosα,sinα),其中sinα≠±sinθ.則直線MP的方程為: ,由此能夠證明|OR||OS|=|xR||xS|=|xRxS|=4為定值.

練習冊系列答案
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(Ⅱ)現(xiàn)準備從分數(shù)在110~115分的n名學生(女生占 )中任選2人,求其中恰好含有一名女生的概率;
(Ⅲ)為了分析某個學生的學習狀態(tài),對其下一階段的學習提供指導(dǎo)性建議,對他前7次考試的數(shù)學成績x(滿分150分),物理成績y進行分析,下面是該生7次考試的成績.

數(shù)學

88

83

117

92

108

100

112

物理

94

91

108

96

104

101

106

已知該生的物理成績y與數(shù)學成績x是線性相關(guān)的,若該生的數(shù)學成績達到130分,請你估計他的物理成績大約是多少?
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B.3
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D.11

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