【題目】如圖所示,平面平面,且四邊形為矩形,四邊形為直角梯形,,,,.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求平面與平面所成銳二面角的大小;
(Ⅲ)求直線與平面所成角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ);(Ⅲ).
【解析】
證明平面,以 為原點(diǎn),所在直線為軸,所在直線為軸,所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,(Ⅰ)為平面的一個(gè)法向量,證明平面,只需證明;(Ⅱ)求出平面的一個(gè)法向量、平面一個(gè)法向量,利用向量的夾角公式,即可求平面與平面所成銳二面角的余弦值;(Ⅲ)求出平面一個(gè)法向量為,利用向量的夾角公式,即可求直線與平面所成角的余弦值.
(Ⅰ)證明:四邊形為直角梯形,四邊形為矩形,
,,
又平面平面,且平面平面,
平面.
以為原點(diǎn),所在直線為軸,所在直線為軸,所在直線為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.根據(jù)題意,得以下點(diǎn)的坐標(biāo):
,,,,,
則,.
,,
為平面的一個(gè)法向量.
又.平面.
平面.
(Ⅱ)設(shè)平面的一個(gè)法向量為,
則,,
得
平面,平面一個(gè)法向量為,
設(shè)平面與平面所成銳二面角的大小為,
則
因此,平面與平面所成銳二面角的大小為.
(Ⅲ)根據(jù)(Ⅱ)知平面一個(gè)法向量為 得
,
設(shè)直線與平面所成角為,則
因此,直線與平面所成角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】圖1是直角梯形,,,,,,.以為折痕將折起,使點(diǎn)到達(dá)的位置,且,如圖2.
(1)證明:平面平面;
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小明在某物流派送公司找到了一份派送員的工作,該公司給出了兩種日薪薪酬方案.甲方案:底薪100元,每派送一單獎(jiǎng)勵(lì)1元;乙方案:底薪140元,每日前54單沒有獎(jiǎng)勵(lì),超過54單的部分每單獎(jiǎng)勵(lì)20元.
(1)請(qǐng)分別求出甲、乙兩種薪酬方案中日薪y(單位:元)與送貨單數(shù)n的函數(shù)關(guān)系式;
(2)根據(jù)該公司所有派送員100天的派送記錄,發(fā)現(xiàn)派送員的日平均派送單數(shù)滿足以下條件:在這100天中的派送量指標(biāo)滿足如圖所示的直方圖,其中當(dāng)某天的派送量指標(biāo)在時(shí),日平均派送量為單.若將頻率視為概率,回答下列問題:
①估計(jì)這100天中的派送量指標(biāo)的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表) ;
②根據(jù)以上數(shù)據(jù),設(shè)每名派送員的日薪為(單位:元),試分別求出甲、乙兩種方案的日薪的分布列及數(shù)學(xué)期望. 請(qǐng)利用數(shù)學(xué)期望幫助小明分析他選擇哪種薪酬方案比較合適?并說明你的理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從秦朝統(tǒng)一全國幣制到清朝末年,圓形方孔銅錢(簡(jiǎn)稱“孔方兄”)是我國使用時(shí)間長達(dá)兩千多年的貨幣.如圖1,這是一枚清朝同治年間的銅錢,其邊框是由大小不等的兩同心圓圍成的,內(nèi)嵌正方形孔的中心與同心圓圓心重合,正方形外部,圓框內(nèi)部刻有四個(gè)字“同治重寶”.某模具廠計(jì)劃仿制這樣的銅錢作為紀(jì)念品,其小圓內(nèi)部圖紙?jiān)O(shè)計(jì)如圖2所示,小圓直徑1厘米,內(nèi)嵌一個(gè)大正方形孔,四周是四個(gè)全等的小正方形(邊長比孔的邊長小),每個(gè)正方形有兩個(gè)頂點(diǎn)在圓周上,另兩個(gè)頂點(diǎn)在孔邊上,四個(gè)小正方形內(nèi)用于刻銅錢上的字.設(shè),五個(gè)正方形的面積和為S.
(1)求面積S關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式,并求定義域;
(2)求面積S的最小值及此時(shí)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中
(Ⅰ)若,討論的單調(diào)性;
(Ⅱ)若,當(dāng)時(shí),恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的短軸長為,離心率為。
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)橢圓的左,右焦點(diǎn)分別為,左,右頂點(diǎn)分別為,,點(diǎn),,為橢圓上位于軸上方的兩點(diǎn),且,記直線,的斜率分別為,,若,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市《城市總體規(guī)劃(年)》提出到2035年實(shí)現(xiàn)“15分鐘社區(qū)生活圈”全覆蓋的目標(biāo),從教育與文化、醫(yī)療與養(yǎng)老、交通與購物、休閑與健身4個(gè)方面構(gòu)建“15分鐘社區(qū)生活圈“指標(biāo)體系,并依據(jù)“15分鐘社區(qū)生活圈”指數(shù)高低將小區(qū)劃分為:優(yōu)質(zhì)小區(qū)(指數(shù)為、良好小區(qū)(指數(shù)為0.4-0.63、中等小區(qū)(指數(shù)為0.2~0.4)以及待改進(jìn)小區(qū)(指數(shù)為0-0.2)4個(gè)等級(jí).下面是三個(gè)小區(qū)4個(gè)方面指標(biāo)值的調(diào)查數(shù)據(jù):
注:每個(gè)小區(qū)”15分鐘社區(qū)生活圈”指數(shù)其中、、、為該小區(qū)四個(gè)方面的權(quán)重,為該小區(qū)四個(gè)方面的指標(biāo)值(小區(qū)每一個(gè)方面的指標(biāo)值為之間的一個(gè)數(shù)值)
現(xiàn)有100個(gè)小區(qū)的“15分鐘社區(qū)生活圈“指數(shù)數(shù)據(jù),整理得到如下頻數(shù)分布表:
(1)分別判斷A、B、C三個(gè)小區(qū)是否是優(yōu)質(zhì)小區(qū),并說明理由;
(2)對(duì)這100個(gè)小區(qū)按照優(yōu)質(zhì)小區(qū)、良好小區(qū)、中等小區(qū)和待改進(jìn)小區(qū)進(jìn)行分層抽樣,抽取10個(gè)小區(qū)進(jìn)行調(diào)查,若在抽取的10個(gè)小區(qū)中再隨機(jī)地選取2個(gè)小區(qū)做深入調(diào)查,記這2個(gè)小區(qū)中為優(yōu)質(zhì)小區(qū)的個(gè)數(shù)為ζ,求ζ的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某省確定從2021年開始,高考采用“”的模式,取消文理分科,即“3”包括語文、數(shù)學(xué)、外語,為必考科目;“1”表示從物理、歷史中任選一門;“2”則是從生物、化學(xué)、地理、政治中選擇兩門,共計(jì)六門考試科目.某高中從高一年級(jí)2000名學(xué)生(其中女生900人)中,采用分層抽樣的方法抽取名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.
(1)已知抽取的名學(xué)生中含男生110人,求的值及抽取到的女生人數(shù);
(2)學(xué)校計(jì)劃在高二上學(xué)期開設(shè)選修中的“物理”和“歷史”兩個(gè)科目,為了了解學(xué)生對(duì)這兩個(gè)科目的選課情況,對(duì)在(1)的條件下抽取到的名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)杳(假定每名學(xué)生在這兩個(gè)科目中必須洗擇一個(gè)科目且只能選擇一個(gè)科目).下表是根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到的列聯(lián)表,請(qǐng)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷是否有的把握認(rèn)為選擇科目與性別有關(guān)?說明你的理由;
性別 | 選擇物理 | 選擇歷史 | 總計(jì) |
男生 | 50 | ||
女生 | 30 | ||
總計(jì) |
(3)在(2)的條件下,從抽取的選擇“物理”的學(xué)生中按分層抽樣抽取6人,再從這6名學(xué)生中抽取2人,對(duì)“物理”的選課意向作深入了解,求2人中至少有1名女生的概率.
附:,其中.
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(, =2.718………),
(I) 當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(II)當(dāng)時(shí),不等式對(duì)任意恒成立,
求實(shí)數(shù)的最大值.
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