若A1,A2,…,Am為集合A={1,2,…,n}(n≥2且n∈N*)的子集,且滿足兩個條件:
①A1∪A2∪…∪Am=A;
②對任意的{x,y}A,至少存在一個i∈{1,2,3,…,m},使Ai∩{x,y}={x}或{y};
則稱集合組A1,A2,…,Am具有性質(zhì)P。
如圖,作n行m列數(shù)表,定義數(shù)表中的第k行第l列的數(shù)為,

(Ⅰ)當(dāng)n=4時,判斷下列兩個集合組是否具有性質(zhì)P,如果是請畫出所對應(yīng)的表格,如果不是請說明理由;
集合組1:A1={1,3},A2={2,3},A3={4};
集合組2:A1={2,3,4},A2={2,3},A3={1,4};
(Ⅱ)當(dāng)n=7時,若集合組A1,A2,A3具有性質(zhì)P,請先畫出所對應(yīng)的7行3列的一個數(shù)表,再依此表格分別寫出集合A1,A2,A3;
(Ⅲ)當(dāng)n=100時,集合組A1,A2,…,At是具有性質(zhì)P且所含集合個數(shù)最小的集合組,求t的值及|A1|+|A2|+…+|At|的最小值。(其中|Ai|表示集合Ai所含元素的個數(shù))
解:(Ⅰ)集合組1具有性質(zhì)P,
所對應(yīng)的數(shù)表為:

1

0

0

0

1

0

1

1

0

0

0

1

集合組2不具有性質(zhì)P,因為存在
,
與對任意的,都至少存在一個i∈{1,2,3},有或{y}矛盾,
所以集合組不具有性質(zhì)P。
(Ⅱ)

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

1

1

1

1


(注:表格中的7行可以交換得到不同的表格,它們所對應(yīng)的集合組也不同)
(Ⅲ)設(shè)所對應(yīng)的數(shù)表為數(shù)表M,
因為集合組為具有性質(zhì)P的集合組,所以集合組滿足條件①和②,
由條件①:
可得對任意x∈A,都存在i∈{1,2,3,…,t}有,
所以,即第x行不全為0,
所以由條件①可知數(shù)表M中任意一行不全為0;
由條件②知,對任意的,都至少存在一個i∈{1,2,3,…,t},
使或{y},
所以一定是一個1一個0,即第x行與第y行的第i列的兩個數(shù)一定不同;
所以由條件②可得數(shù)表M中任意兩行不完全相同;
因為由0,1所構(gòu)成的t元有序數(shù)組共有2t個,去掉全是0的t元有序數(shù)組,共有個,
又因數(shù)表M中任意兩行都不完全相同,所以,所以t≥7,
又t=7時,由0,1所構(gòu)成的7元有序數(shù)組共有128個,去掉全是0的數(shù)組,共127個,
選擇其中的100個數(shù)組構(gòu)造100行7列數(shù)表,則數(shù)表對應(yīng)的集合組滿足條件①②,即具有性質(zhì)P,所以t=7;
因為等于表格中數(shù)字1的個數(shù),
所以,要使取得最小值,只需使表中1的個數(shù)盡可能少,
而t=7時,在數(shù)表M中,
1的個數(shù)為1的行最多7行;
1的個數(shù)為2的行最多行;
1的個數(shù)為3的行最多行;
1的個數(shù)為4的行最多行;
因為上述共有98行,所以還有2行各有5個1,
所以此時表格中最少有個1,
所以的最小值為304。
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若集合A1,A2滿足A1∪A2=A,則稱(A1,A2)為集合A的一種分拆,并規(guī)定:當(dāng)且僅當(dāng)A1=A2時,(A1,A2)與(A2,A1)為集合A的同一種分拆,則集合A={1,2,3}的不同分拆種數(shù)是多少?

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若A1,A2,…,Am為集合A={1,2,…,n}(n≥2且n∈N*)的子集,且滿足兩個條件:
①A1∪A2∪…∪Am=A;
②對任意的{x,y}⊆A,至少存在一個i∈{1,2,3,…,m},使Ai∩{x,y}={x}或{y}.則稱集合組A1,A2,…,Am具有性質(zhì)P.
如圖,作n行m列數(shù)表,定義數(shù)表中的第k行第l列的數(shù)為akl=
1(k∈Al)
0(k∉Al)

a11 a12 a1m
a21 a22 a2m
an1 an2 anm
(Ⅰ)當(dāng)n=4時,判斷下列兩個集合組是否具有性質(zhì)P,如果是請畫出所對應(yīng)的表格,如果不是請說明理由;
集合組1:A1={1,3},A2={2,3},A3={4};
集合組2:A1={2,3,4},A2={2,3},A3={1,4}.
(Ⅱ)當(dāng)n=7時,若集合組A1,A2,A3具有性質(zhì)P,請先畫出所對應(yīng)的7行3列的一個數(shù)表,再依此表格分別寫出集合A1,A2,A3
(Ⅲ)當(dāng)n=100時,集合組A1,A2,…,At是具有性質(zhì)P且所含集合個數(shù)最小的集合組,求t的值及|A1|+|A2|+…|At|的最小值.(其中|Ai|表示集合Ai所含元素的個數(shù))

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在數(shù)列{an}中,a1=a,且an+1+2an=2n+1
(1)若a1,a2,a3成等差數(shù)列,則{an}是否成等差數(shù)列?并說明理由;
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