【題目】如圖,是邊長為2的正方形,平面平面,且,是線段的中點,過作直線,是直線上一動點.

1)求證:

2)若直線上存在唯一一點使得直線與平面垂直,求此時二面角的余弦值.

【答案】(1)見解析;(2)

【解析】

1)先證EO⊥面ABCD,進(jìn)而可得BC⊥面EOF,從而可證OFBC

2)由(1)可得平面,得到、、兩兩垂直,可建立空間直角坐標(biāo)系,由條件得到,轉(zhuǎn)化為向量,從而,轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程有唯一實數(shù)解,得到,又判斷∠BFC為二面角BOFC的平面角,利用向量夾角公式可求二面角BOFC的余弦值.

1)因為中點,故

又因為平面平面,平面平面,

平面,所以;

因為,所以

平面,

所以.

2)設(shè)的中點為,則有,由(1),平面

所以、兩兩垂直.可如圖建立空間直角坐標(biāo)系.

依題意設(shè)點的坐標(biāo)為,點的坐標(biāo)為,又,,

所以,

由(1)知,故與平面垂直,等價于

,從而,即

直線上存在唯一一點使得直線與平面垂直,即關(guān)于的方程有唯一實數(shù)解.

所以,解得,此時.

故點的坐標(biāo)為,點的坐標(biāo)為.

因為平面,所以,

所以即二面角的平面角.

因為,,

所以

即若直線上存在唯一一點使得直線與平面垂直時,

所以二面角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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