Question

已知點A、B是拋物線y=x²上的兩個不同于坐標原點O的動點,且=0.

(1)求以AB為直徑的圓的圓心的軌跡方程;

(2)過A、B分別作拋物線的切線,證明兩切線交點M的縱坐標為定值.

Answer 1

解：(1)設A(x₁,x₁²),B(x₂,x₂²),AB中點Q(x,y),                                  

∵=0,∴x₁x₂+x₁²x₂²=0.

又x₁≠0,x₂≠0,

∴x₁x₂=-1.3分

又∵                                                         

則y=［x₁²+x₂²］=［(x₁+x₂)²-2x₁x₂］=(4x²+2)=2x²+1.

∴AB為直徑的圓的圓心的軌跡方程為y=2x²+1.                                  

(2)由y=x²,得y′=2x.                                                         

∴過A點的切線方程為y-x₁²=2x₁(x-x₁),即y=2x₁x-x₁²,                              ①

同理,過B點的切線方程為y=2x₂x-x₂².                                        ②

設M(x,y),

則x₁、x₂為方程t²-2xt+y=0的兩根,

由韋達定理知x₁·x₂=y,又由(1)x₁x₂=-1,

∴y=-1,即M的縱坐標為定值-1.