Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(-1, 0)、B(1, 0), 動(dòng)點(diǎn)C滿足條件：△ABC的周長(zhǎng)為2＋2.記動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為曲線W.

(Ⅰ)求W的方程；

(Ⅱ)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0, ）且斜率為k的直線l與曲線W 有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q，

求k的取值范圍；

（Ⅲ）已知點(diǎn)M（，0），N（0, 1），在(Ⅱ)的條件下，是否存在常數(shù)k，使得向量與共線？如果存在，求出k的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（Ⅰ）

（Ⅱ）

（Ⅲ）見解析

解析:

 (Ⅰ) 設(shè)C（x, y）,

∵ , ,

∴ ,

∴ 由定義知，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2的橢圓除去與x軸的兩個(gè)交點(diǎn).

∴ .  ∴ .

∴ W:   . …………………………………………… 2分

(Ⅱ) 設(shè)直線l的方程為，代入橢圓方程，得.

     整理，得.         ①………………………… 5分

     因?yàn)橹本�l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q等價(jià)于

     ，解得或.

∴ 滿足條件的k的取值范圍為 ………… 7分

（Ⅲ）設(shè)P（x₁,y₁）,Q(x₂,y₂),則＝（x₁+x₂，y₁+y₂),

     由①得.                 ②

     又                ③

     因?yàn)?img width=60 height=22 id="_x268A6113uDWS_i1267" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/120/97920.gif">，， 所以.……………………… 11分

     所以與共線等價(jià)于.

     將②③代入上式，解得.

     所以不存在常數(shù)k，使得向量與共線.