Question

設(shè)函數(shù)f(x)＝lnx－ax，g(x)＝ex－ax，其中a為實(shí)數(shù)．

(1)若f(x)在(1，＋∞)上是單調(diào)減函數(shù)，且g(x)在(1，＋∞)上有最小值，求a的取值范圍；

(2)若g(x)在(－1，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)，試求f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論．

 

Answer 1

(1) a∈(e，＋∞)．

(2) 當(dāng)a≤0或a＝e－1時(shí)，f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，當(dāng)0<a<e－1時(shí)，f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2. 證明見解析

【解析】【解析】
(1)令f′(x)＝－a＝<0，考慮到f(x)的定義域?yàn)?/span>(0，＋∞)，故a>0，進(jìn)而解得x>a－1，即f(x)在(a－1，＋∞)上是單調(diào)減函數(shù)．同理，f(x)在(0，a－1)上是單調(diào)增函數(shù)．由于f(x)在(1，＋∞)上是單調(diào)減函數(shù)，故(1，＋∞)⊆(a－1，＋∞)，從而a－1≤1，即a≥1.令g′(x)＝ex－a＝0，得x＝ln a．當(dāng)x<ln a時(shí)，g′(x)<0；當(dāng)x>ln a時(shí)，g′(x)>0.又g(x)在(1，＋∞)上有最小值，所以ln a>1，即a>e.

綜上，有a∈(e，＋∞)．

(2)當(dāng)a≤0時(shí)，g(x)必為單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)a>0時(shí)，令g′(x)＝ex－a>0，

解得a<ex，即x>ln a，因?yàn)?/span>g(x)在(－1，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)，類似(1)有ln a≤－1，即0<a≤e－1.結(jié)合上述兩種情況，有a≤e－1.

(ⅰ)當(dāng)a＝0時(shí)，由f(1)＝0以及f′(x)＝>0，得f(x)存在唯一的零點(diǎn)；

(ⅱ)當(dāng)a<0時(shí)，由于f(ea)＝a－aea＝a(1－ea)<0，f(1)＝－a>0，且函數(shù)f(x)在[ea,1]上的圖象不間斷，所以f(x)在(ea,1)上存在零點(diǎn)．另外，當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)＝－a>0，故f(x)在(0，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)，所以f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)．

(ⅲ)當(dāng)0<a≤e－1時(shí)，令f′(x)＝－a＝0，解得x＝a－1.當(dāng)0<x<a－1時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)x>a－1時(shí)，f′(x)<0，所以，x＝a－1是f(x)的最大值點(diǎn)，且最大值為f(a－1)＝－ln a－1.

①當(dāng)－ln a－1＝0，即a＝e－1時(shí)，f(x)有一個(gè)零點(diǎn)x＝e.

②當(dāng)－ln a－1>0，即0<a<e－1時(shí)，f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)．

實(shí)際上，對于0<a<e－1，由于f(e－1)＝－1－ae－1<0，f(a－1)>0，且函數(shù)f(x)在[e－1，a－1]上的圖象不間斷，所以f(x)在(e－1，a－1)上存在零點(diǎn)．

另外，當(dāng)x∈(0，a－1)時(shí)，f′(x)＝－a>0，故f(x)在(0，a－1)上是單調(diào)增函數(shù)，所以f(x)在(0，a－1)上只有一個(gè)零點(diǎn)．

下面考慮f(x)在(a－1，＋∞)上的情況．先證f(ea－1)＝a(a－2－ea－1)<0.

為此，我們要證明：當(dāng)x>e時(shí)，ex>x2.設(shè)h(x)＝ex－x2，則h′(x)＝ex－2x，再設(shè)l(x)＝h′(x)＝ex－2x，則l′(x)＝ex－2.

當(dāng)x>1時(shí)，l′(x)＝ex－2>e－2>0，所以l(x)＝h′(x)在(1，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)．故當(dāng)x>2時(shí)，h′(x)＝ex－2x>h′(2)＝e2－4>0，從而h(x)在(2，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)．進(jìn)而當(dāng)x>e時(shí)，

h(x)＝ex－x2>h(e)＝ee－e2>0.即當(dāng)x>e時(shí)，ex>x2.

當(dāng)0<a<e－1，即a－1>e時(shí)，f(ea－1)＝a－1－aea－1＝a(a－2－ea－1)<0，又f(a－1)>0，且函數(shù)f(x)在[a－1，ea－1]上的圖象不間斷，所以f(x)在(a－1，ea－1)上存在零點(diǎn)．又當(dāng)x>a－1時(shí)，f′(x)＝－a<0，故f(x)在(a－1，＋∞)上是單調(diào)減函數(shù)，所以f(x)在(a－1，＋∞)上只有一個(gè)零點(diǎn)．

綜合(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)，當(dāng)a≤0或a＝e－1時(shí)，f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，當(dāng)0<a<e－1時(shí)，f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.