如圖所示,中心在原點(diǎn),頂點(diǎn)A1、A2在x軸上,離心率為
21
3
的雙曲線C經(jīng)過點(diǎn)P (6,6),動(dòng)直線l經(jīng)過點(diǎn)(0,1)與雙曲線C交于M、N兩點(diǎn),Q為線段MN的中點(diǎn).
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若E點(diǎn)為(1,0),是否存在實(shí)數(shù)λ使
EQ
A2P
,若存在,求λ值;若不存在,說明理由.
分析:(1)由雙曲線的離心率為
21
3
知,
c
a
21
3
,根據(jù)雙曲線C經(jīng)過點(diǎn)P (6,6),知P點(diǎn)坐標(biāo)滿足雙曲線方程,代入,又得到一個(gè)含a,b的等式,再根據(jù)a,b,c的關(guān)系式,可解出a,b,求出雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)先假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ使
EQ
A2P
,設(shè)出M,N,點(diǎn)的坐標(biāo),再用M,N點(diǎn)坐標(biāo)表示Q點(diǎn)坐標(biāo),設(shè)直線l的方程,把直線l的方程代入(1)中所求雙曲線方程,求x1+x2,x1x2,根據(jù)
EQ
A2P
,可得關(guān)于k的方程,解方程,若能求出k值,則存在,若不能求出,則不存在.
解答:解:(1)設(shè)雙曲線為:
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0),
c
a
=
21
3
得:b2=
4
3
a2,∵
36
a2
-
3×36
4a2
=1
.∴a2=9,b2=12.
∴所求方程為
x2
9
-
y2
12
=1

(2)設(shè)M(x1,y1 ),N(x2,y2 ),Q(x0,y0 ),l:y=kx+1.
y=kx+1
得:(4-3k2)x2-6kx-39=0.∴
4-3k2≠0
△>0
得:
-
13
3
<k<
13
3
,且k≠±
2
3
3

又x1+x2=
6k
4-3k2
,x0=
x1+x2
2
=
3k
4-3k2
,y0=kx0+1=
4
4-3k2

∴Q(
3k
4-3k2
,
4
4-3k2
).∴
EQ
=(
3k
4-3k2
-1,
4
4-3k2
),
A2P
=(3,6).
EQ
A2P
,∴6(
3k
4-3k2
-1)-3×
4
4-3k2
=0.∴k2+k-2=0,
∴k=1或-2.
而-2∉(-
13
3
,
13
3
),∴k=1,
EQ
=(2,4),∴3λ=2,λ=
2
3
,
∴λ存在,值為
2
3
,使
EQ
A2P
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了雙曲線方程的求法,以及向量與圓錐曲線的綜合來解存在性問題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

2003年10月15日9時(shí),“神舟”五號(hào)載人飛船發(fā)射升空,于9時(shí)9分50秒準(zhǔn)確進(jìn)入預(yù)定軌道,開始巡天飛行.該軌道是以地球的中心F2為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓.選取坐標(biāo)系如圖所示,橢圓中心在原點(diǎn).近地點(diǎn)A距地面200 km,遠(yuǎn)地點(diǎn)B距地面350 km.已知地球半徑R=6 371 km.

(1)求飛船飛行的橢圓軌道的方程;

(2)飛船繞地球飛行了十四圈后,于16日5時(shí)59分返回艙與推進(jìn)艙分離,結(jié)束巡天飛行,飛船共巡天飛行了約6×105 km,問飛船巡天飛行的平均速度是多少?(結(jié)果精確到1 km/s)(注:km/s即千米/秒)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

2003年10月15日9時(shí),“神舟”五號(hào)載人飛船發(fā)射升空,于9時(shí)9分50秒準(zhǔn)確進(jìn)入預(yù)定軌道,開始巡天飛行.該軌道是以地球的中心F2為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓.選取坐標(biāo)系如圖所示,橢圓中心在原點(diǎn).近地點(diǎn)A距地面200 km,遠(yuǎn)地點(diǎn)B距地面350 km.已知地球半徑R=6 371 km.(如圖)

(1)求飛船飛行的橢圓軌道的方程;

(2)飛船繞地球飛行了十四圈后,于16日5時(shí)59分返回艙與推進(jìn)艙分離,結(jié)束巡天飛行,飛船共巡天飛行了約6×105 km,問飛船巡天飛行的平均速度是多少?(結(jié)果精確到1 km/s)(注:km/s即千米/秒)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年江西省名校高考數(shù)學(xué)信息卷1(理科)(解析版) 題型:解答題

如圖所示,中心在原點(diǎn),頂點(diǎn)A1、A2在x軸上,離心率為的雙曲線C經(jīng)過點(diǎn)P (6,6),動(dòng)直線l經(jīng)過點(diǎn)(0,1)與雙曲線C交于M、N兩點(diǎn),Q為線段MN的中點(diǎn).
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若E點(diǎn)為(1,0),是否存在實(shí)數(shù)λ使,若存在,求λ值;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年江西省名校高考信息卷一(理) 題型:解答題

 

如圖所示,中心在原點(diǎn),頂點(diǎn)A1A2x軸上,離心率為的雙曲線C經(jīng)過點(diǎn)P (6 , 6),

動(dòng)直線l經(jīng)過點(diǎn)(0 , 1)與雙曲線C交于M、N兩點(diǎn),Q為線段MN的中點(diǎn).

(1) 求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2) 若E點(diǎn)為(1 , 0),是否存在實(shí)數(shù)λ使 =λ,若存在,

λ值;若不存在,說明理由.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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