Question

(2007山東，22)設(shè)函數(shù)，其中b≠0．

(1)當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)f(x)在定義域上的單調(diào)性；

(2)求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)；

(3)證明對任意的正整數(shù)n，不等式都成立．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)由題意知，f(x)的定義域?yàn)?/FONT>(―1，＋∞)，， 設(shè)，其圖象的對稱軸為， ∴．當(dāng)時(shí)，． 即在(―1，＋∞)上恒成立． ∴當(dāng)x(―1，＋∞)時(shí)，． ∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)在定義域(―1，＋∞)上單調(diào)遞增． (2)①由(1)得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)無極值點(diǎn)． ②時(shí)，有兩個(gè)相同的解， ∵時(shí)，，時(shí)，， ∴時(shí)，函數(shù)f(x)在(―1，＋∞)上無極值點(diǎn)． ③當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同解，，． ∵b＜0時(shí)，，， 即，， ∴b＜0時(shí)，、f(x)隨x的變化情況如下表： 由此表可知b＜0時(shí)， f(x)有唯一極小值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，∴， 此時(shí)，、f(x)隨x的變化情況如下表： 由此表可知：時(shí)，f(x)有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)； 綜上所述，b＜0時(shí)，f(x)有唯一極小值點(diǎn)； 時(shí)，f(x)有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)；時(shí)，f(x)無極值點(diǎn)． (3)當(dāng)b=－1時(shí)，函數(shù)，令函數(shù)，則．∴當(dāng)x[0，＋∞)時(shí)，，所以函數(shù)h(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，又h(0)=0，∴x[0，＋∞)時(shí)，恒有h(x)＞h(0)=0，即恒成立，故當(dāng)x[0，＋∞)時(shí)，有．對任意正整數(shù)n，取，則有，所以結(jié)論成立．