Question

函數(shù)f(x)=2x-

a

x

的定義域?yàn)椋?，1]（a＜0），
（1）若a=-1，求函數(shù)y=f（x）的值域；
（2）求函數(shù)y=f（x）在x∈（0，1]上的最大值和最小值，并求出函數(shù)取最值時(shí)相應(yīng)x的值．

Answer 1

分析：（1）a=-1時(shí)，利用基本不等式，可求函數(shù)y=f（x）的值域；
（2）求導(dǎo)數(shù)，分類(lèi)討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可求函數(shù)y=f（x）在x∈（0，1]上的最大值和最小值，及函數(shù)取最值時(shí)相應(yīng)x的值．

解答：解：（1）a=-1時(shí)，f(x)=2x+

1

x

≥2

2

當(dāng)且僅當(dāng)x=

2

2

時(shí)取等號(hào)，
∴f（x）的值域?yàn)閇2

2

，+∞），
（2）f′(x)=2+

a2

x2

=

2x2+a

x2

當(dāng)a＜0時(shí)，f′(x)=

2(x- - a 2 )(x+ - a 2 )

x2

①當(dāng)

- a 2

＜1⇒-2＜a＜0時(shí)，f′(x)=0⇒x=

- a 2

當(dāng)x∈(0，

- a 2

)，f(x)單調(diào)遞減，x∈(

- a 2

，1]，f(x)單調(diào)遞增
∴x=

- a 2

時(shí)，f(x)min=2

-2a

，無(wú)最大值．…（8分）
②當(dāng)

- a 2

≥1，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減，∴a≤-2時(shí)，x=1，f（x）_min=2-a．
綜上：-2＜a＜0，x=

- a 2

時(shí)，f(x)min=2

-2a

，無(wú)最大值；a≤-2時(shí)，x=1時(shí)，f（x）_min=2-a，無(wú)最大值．  …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查基本不等式，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．