Question

【題目】如圖，AB是圓O的直徑，點C是圓O上異于A，B的點，PO垂直于圓O所在的平面，且.D為線段AC的中點.

(1)求證：平面平面；

(2)若點E在線段PB上，且，求三棱錐體積的最大值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)24.

【解析】

（1）由已知先證明AC⊥OD，又PO⊥AC，從而得到AC⊥平面PDO，進而證明平面PAC⊥平面PDO；
（2）由題意先求得△ABC面積的最大值，進而求得三棱錐PABC體積的最大值，從而求得三棱錐EPOC體積的最大值．

(1)證明：在ΔAOC中，因為OA＝OC，D為AC的中點，所以AC⊥OD，

又PO垂直于圓O所在的平面，所以PO⊥AC；

又DO∩PO=O，所以AC⊥平面PDO；

又AC平面PAC，

所以平面PAC⊥平面PDO；

(2)由PE=PB，則

所以V三梭錐E-POC=V三棱錐C-POE=V三棱維C-POB=S三棱維P-OCB=V三棱維P-ACB

又點C在圓O.上，所以當CO⊥AB時，C到AB的距離最大，且最大值為6；

又AB=12，所以ΔABC面積的最大值為×12×6=36；

又三棱錐P-ABC的高為PO=6，

所以三棱錐P-ABC體積的最大值為×36×6=72；

綜上知，三棱錐E-POC體積的最大值為×72=24.